Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Задумывались ли Вы когда-нибудь о том, что такое расстояние ? Какими свойствами должна вообще обладать некая величина, чтобы носить такое гордое наименование? Сегодня я расскажу Вам, что понимается под "расстоянием" в математике. Поехали!
Пространство и расстояние: так ли всё просто ? Источник: https://mymodernmet.com/wp/wp-content/uploads/2019/07/Peter-Kogler-2014-Taxisplais-1024×768.jpg
Итак, начнём с рисунка. Вам, конечно, известно, что основой всей математики является теория множеств, ведь из неё можно вывести практически все термины, которыми оперирует царица наук. Расстояние — не исключение. Расставим на бумаге в произвольном порядке элементы произвольного множества X = {A,B,C,D,E}:
Каждым двум точкам из этого множества сопоставим некое отношение (или величину) , которую обозначим латинской буквой ρ. Пара (X, ρ) — в математике называется пространством, а от характера ρ зависит то, каким оно будет. Например, если ρ носит характер метрики, то пространство будет называться метрическим. Но что же такое метрика?
Чтобы назвать отношение ρ метрикой необходимо выполнить три условия, которые называются аксиомами метрического пространства:
Предпоследняя строчка определяет метрику как отображение декартова произведения элементов множества в вещественную ось. Третье условие называется неравенством треугольника, известным всем еще со школьной скамьи. Все аксиомы наглядно показаны на первом рисунке.
Обратите внимание на тонкость: само отношение называется метрикой, а вот результат применения этого отношения (читай, отображение) к двум точкам метрического пространства — расстоянием.
Таким образом, только в пространствах, наделенных метрикой, имеет смысл говорить о расстоянии.
Какие бывают метрики ?
В целом, любое отношение, удовлетворяющее вышеперечисленным аксиомам, имеет право называться метрикой. Самый простой способ задать метрику — это посмотреть на числовую ось:
Все аксиомы легко проверяются:
- ρ(A,B) = 0, если A=B.
- ρ(A,B) = ρ(B,A).
- ρ(A,C) ≤ ρ(A,B) + ρ(B,C) — выполняется в форме равенства.
Таким образом, разница между вещественными числами — суть расстояние, а (R, ρ) — метрическое пространство.
Странно говорить о пространстве на прямой, не так ли? Если смущает, приглашаю на знакомую всем координатную плоскость. Отметим на ней два элемента (точками они, формально, станут после доказательства метризуемости), каждому из которых поставим в соответствие упорядоченную пару (x,y):
Аксиомы метрики для введенного нами соотношения также доказываются. Единственное, что неравенство треугольника уже выполняется в классическом виде, данном миру еще Евклидом.
В математике такое называют метрическим пространством R². Расстояние в нём — это фактически длина гипотенузы прямоугольного треугольника, вычислимая по теореме Пифагора. Множество точек, равноудаленных от данной, является окружностью, а число π ≈ 3,14.
Без потери общности можно сопоставить каждому элементу уже тройку координат, что приведет нас к привычному метрическому пространству R³. Окружность в нём, например, станет сферой.
Можно ли еще как-нибудь задать метрическое пространство, например, на плоскости? Конечно, да. Более того, существуют метрические пространства, которые буквально могут "взорвать мозг": в них окружность — это ромб (манхэттенское пространство) или квадрат (пространство Чебышева), а число π равно 4 ! О них — в следующей статье. Подписывайтесь и спасибо за внимание!
