Диофантовы уравнения — лично для меня одно из самых красивых направлений математики. Они представляют собой уравнения с минимум двумя неизвестными, решения которых необходимо искать только в целых числах.
Один из самых известных древнегреческих математиков — Диофант Александрийский. Источник: http://900igr.net/up/datai/259378/0008-005-.jpg
Давайте решим наиболее простое из диофантовых уравнений — линейное с двумя переменными, а в следующих материалах уже перейдем к более сложным. Итак:
Тривиальное решение этого уравнения (4,0), а что же с остальными? Для начала выразим одну переменную через другую:
Выбираем значение y=3n, исходя из того, чтобы x в любом случае было целым (тройка в знаменателе сокращается). Теперь осталось просто выразить x:
Как всегда, не лишним будет проверить решение при произвольном n:
Конечно, есть еще несколько способов решения таких линейных диофантовых уравнений: например, методом Евклида или даже, самым красивым по моему мнению, геометрическим. Спасибо за внимание!
