Приветствую Вас, уважаемые Читатели! У каждого в школьной математики были любимые и не любимые типы задач.
Я, например, никогда не любил текстовые задачи, а вот к уравнениям всегда относился к почётом.
Уравнений — не боюсь, если надо — упорюсь.
А еще, мне нравились оптимизационные задачи, в которых было необходимо найти максимальный/минимальный периметр, площадь, значение функции на интервале и т.д.
В общем всё, где нужно было применять производную. Вот и сегодня я хочу показать Вам решение одной из таких задач. Поехали!
Задача
Требуется найти максимальную площадь прямоугольника, заключенного между квадратичной кривой и прямой с известными уравнениями.Прежде всего необходимо записать целевую функцию площади прямоугольника, чтобы дальше обрабатывать её через производную. Для этого надо понять ординаты вот этих двух точек:
Первая точка лежит на параболе, а вторая — на прямой. Подставляя в уравнения их абсциссы a и b получим:
Равенство ординат двух точек позволит нам выразить b через a, чтобы потом подставить в функцию, отражающую площадь прямоугольника:
Теперь, чтобы вычислить максимальное значение функции, нужно вычислить производную и приравнять её к нулю:
Значение a=0 нас не интересует, а значит надо добыть решение квадратного уравнения в скобках. Делаем это:
Конечно, из всех найденных нами корней уравнения может подходить только 1/2, но, строго говоря, надо проверить, является ли эта точка максимумом:
На интервалах, где производная больше нуля, функция возрастает, где меньше нуля — убывает. Таким образом в стационарной точке 1/2 у функции максимум.Вычисляем значение исходной функции в этой точке и получаем ответ:
Спасибо за внимание! А Вам нравятся такие задачи так же, как и мне? Если — да, ставьте «Нравится» этой публикации и подписывайтесь на канал!
