Пьер Ферма — не только автор самой значимой в истории человечества заметки на полях книги, но и автор трактата «Введения к теории плоских и пространственных мест», в котором были заложены основы аналитической геометрии — направления математики, в котором геометрические объекты изучаются с точки зрения алгебры.
Естественно, не обошлось и без геометрических терминов, названных в честь великого француза.
Сегодня я расскажу Вам о том, как построить точку Ферма в произвольном треугольнике, и почему эта проблема имеет практическое применение.
Возьмем произвольный треугольник с условием, что наибольший его угол не превышает 120 градусов:
Теперь возьмем в руки циркуль и построим на каждой стороне равносторонний треугольник:
Из вершин полученных треугольников восстановим отрезки к противоположным вершинам, которые, ожидаемо, пересекутся в одной точке F:
Точку Ферма в англоязычной литературе так же называют изогоническим центром Х13. У каждого разностороннего треугольника так же есть и второй изогонический центр Х14, который в нашем случае будет лежать снаружи (его могут называть второй точкой Ферма). Оба изогонических центра называют точками Торричелли
Как Вы поняли, это и есть знаменитая точка Ферма.
Главное и самое замечательное её свойство в том, что сумма расстояний от неё до вершин треугольника минимальна, и каждая сторона видна из этой точки под углом 120 градусов:
Когда речь идёт о тупоугольных треугольниках с углами больше 120 градусов, точка Ферма совпадает с вершиной тупого угла:
Геометрические построения — это, конечно, хорошо, но физической натурной модели ничего не заменит.
Вот и в этом случае есть отличный пример:
Отметим на плоской гадкой горизонтальной поверхности точки A, B и C просверлим в отмеченных местах сквозные отверстия; свяжем три нити и пропустим сверху их свободные концы через отверстия; привяжем к свободным концам грузы одинаковой массы; когда система придет в равновесие, узел окажется в точке Ферма для треугольника ABC.
