2 нереальных парадокса из теории множеств, которые не укладываются в голове

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Теории множеств посвящен отдельный блок публикация на моем канале. С первой вводной статьей можете ознакомиться здесь. Парадоксы в теории множеств обычно зубодробительны: чего только стоит случай в бесконечном отеле. Сегодня же расскажу еще про ти известных недоразумения. Поехали!

Парадокс Банаха-Тарского

Согласно этому парадоксу, можно разрезать шар ножом и получить два точно таких же шара! Но это на бытовом языке.

Источник: https://uh.edu/engines/3200-Banach-Tarski%20paradox.png

Строго говоря, речь идёт о том, что точки одного множества (исходного шара) можно отобразить в объединение точек двух множеств. Доказано, что для осуществления удвоения шара недостаточно "разрезать" его на 4 части, а вот на 5 — уже вполне.

Суть парадокса в том, что куски, на которые может быть разрезан шар в реальной жизни всегда имеют объем. В теории множеств же существуют т.н. "неизмеримые множества", которые могут не иметь объема, если под ним понимать какое-либо свойство аддитивности (целое можно разбить на части и склеить заново) и эквивалентности (объемы двух конгруэнтных фигур, т.е. получающихся в результате переноса, вращения или отражения, равны).

Источник: https://storge.pic2.me/c/1360×800/645/5563185bc8262.jpg

Кратко: шар разбивается на неизмеримые множества точек, которые не имеют объема. В реальности так сделать нельзя.

Кстати, сделать такое с окружностью на плоскости нельзя никаким образом, а вот собрать равновеликий квадрат из круга: легко!

Квадратура круга Тарского

Квадратура круга — это краеугольная задача всей математики, окончательно решенная в отрицательную сторону лишь в 19 веке с доказательство трансцендентности числа π.

Однако, уже знакомый нам Альфред Тарский в 1925 году предположил, что круг можно разбить на конечное число частей, в результате параллельного переноса, поворота или отражения которых, можно составить равновеликий кругу квадрат.

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Squaring_the_circle.svg/440px-Squaring_the_circle.svg.png

Впрочем, таких кусочков требуется 10^50 штук, сами они не являются измеримыми множествами, более того имеют границы, не являющимися жордановыми кривыми. Последнее вообще дикость: теорема Жордана говорит о том, что любая замкнутая кривая, например, на плоскости разделяет её на две части (грубо говоря, внутреннюю и внешнюю) и сама является границей между ними. Как вообще может быть по-другому ???

Читайте статью про удивительные треугольники Серпинского

Кстати, у этих двух парадоксов общее основание для доказательства — аксиома выбора Цермело — одно из самых спорных утверждений вообще в математике. Рассказать Вам о нём? Голосуйте!

Внимание! Я не рассматриваю описанный выше материал, как доказательство или разрешение парадоксов. Его цель — просто привлечь внимание аудитории к удивительным вещам из мира математики.

Кстати, в своей группе Вконтакте, я провожу розыгрыш трех замечательных книг. Переходите по ссылке!

*************************************************************************

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Проект моей супруги канал "Русский язык не для всех"

**************************************************************************

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: