Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Недавно в своем блоге я рассказывал про самое первое иррациональное число, ставшее известное математикам — √2. Статья вызвала очень хороший отклик, поэтому сегодня погорим еще об одном замечательном и, самое главное, красивейшем чисел — √5 . Поехали!
Итак, "неожиданно", но корнем из 5 называется вещественное иррациональное алгебраическое (до кучи уже и комплексное) число (если путаетесь в названиях классов чисел, рекомендую прочитать вот этот материал), которое при возведении в квадрат дает 5.
Заслуга в нахождении десятичной записи этого числа принадлежит Вавилонянам и их итерационному алгоритму:
На 4 шаге точность уже очень хорошая
Я уже описывал и проводил вычисления по этому алгоритму здесь, поэтому останавливаться, с Вашего позволения, не буду.
Кроме того, существует огромное количество формул, в которых самым удивительным образом выскакивает герой нашего сегодняшнего повествования. Например великолепная формула с бесконечным радикалом:
Или же формула, появившаяся в трудах индийского гения Рамануджана:
Какая красота!
Ну и, наверное, Вы сейчас поняли истинную причину "красоты" √5 — это связь с "золотым сечением" и последовательностью "Фибоначчи"
Золотое сечение
Как всегда основоположниками "золотого сечения" стали древние греки. Для этого они провели следующие геометрические построения:
Другими словами, если отрезок делится в такой пропорции, что отношение большей части (а) к меньшей части (b) равно отношению длины всего отрезка (а+b) к большей части (а), то можно говорить, что отрезок разделен в отношении "золотого сечения". Найдем же его собственноручно:
Часто вместо Ф используют обратную ему величину. Грубо говоря, золотое сечение — это отношение 62% на 38%
Это и есть то самое число Фидия = 1,618…. Естественно, что отношение подобия, которое изначально относилось к отрезкам, может быть отнесено и к любым геометрическим фигурам:
Еще мне до глубины души нравится следующий факт. Если попробовать возвести число Фидия в квадрат, то получим:
1,6180339… × 1,6180339… = 2,6180339…
А еще число Фидия — это предел отношения членов последовательности Фибоначчи:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711
В этой последовательности каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Не претендуя на математическую точность, попытаемся вычислить отношения членов ряда:
Как мы видим, при движении вправо по ряду, соотношение соседних чисел будет приближаться к числу Фидия. Таким образом, последовательность Фибоначчи — это самая красивая математическая последовательность, достойная отдельного материала.
Многие художники сознательно использовали в своих произведениях золотое сечение, но основоположником, конечно, был Леонардо Да Винчи.
Витрувианский человек
С тех пор золотое повсеместно используется в искусстве, став настоящим стандартом "красоты". Ему даже приписывают магические свойства, но к ним стоит относится очень осторожно.
Вот так, обычный вроде бы √5 стал основанием для стандартизации красоты во всем мировом искусстве.
Розыгрыш в честь скорых 5000 подписчиков
Ссылка на группу в контакте
Хотите еще красоты ? Почитайте про совершенные числа!
**************************************************************************
Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
Второй проект — канал "Русский язык не для всех"
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
