Аксиома непрерывности, без которой математический анализ — один большой "пшик"

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу продолжить рассказывать Вам об аксиоматических началах математики и хочу затронуть такую важную вещь, как непрерывность (полноту) множества вещественных чисел. Поехали!

Огюстен Коши. Человек, которому математический анализ всемерно обязан. Один из тех, кто понимал необходимость построения его устойчивого фундамента. Источник: https://www.thefamouspeople.com/profiles/images/augustin-louis-cauchy-3.jpg

Этого вопроса я уже касался в формулировке Дедекинда, когда рассказывал про его метод сечений, но сегодня пришло время абсолютно тривиальной формулировки, от которой, впрочем, зависит очень и очень многое в математическом анализе. Дело в том, что до формулировки этой аксиомы те или иные доказательства часто опирались на геометрические построение или очевидность, что не всегда хорошо.

Итак, формулировка аксиомы и поясняющий рисунок:

А теперь словами: для множеств А и B, для всех попарных элементов которого выполняется условие a≤b, всегда существует такое ε, для которого выполняется последнее неравенство. Иначе говоря, как бы мы не приближали границы множеств друг к другу, всегда найдется какое-то число, которое можно "воткнуть" между ними.

Особое внимание стоит обратить на тот факт, что данная аксиома постулируется только для вещественных чисел. Действительно, для рациональных чисел всегда можно привести контрпример:

Для множеств А и B, как и раньше, выполняются условия попарной сравнимости, однако среди рациональных чисел не существует такого, которое при сужении границ будет тем самым ε. Такое число может быть только иррациональным — √2.

Кстати, в зависимости от трактовки аксиома непрерывности может быть заменена теоремой. Однако, это ничего не меняет: как завещал Гёдель любая теорема — это лишь последовательность суждений, всё равно ведущих к аксиоме.

С помощью аксиомы непрерывности доказывается множество разных теорем и даже существование арифметических корней и логарифмов (даже это требует доказательства!). Однако, первое, о чём я хотел рассказать, опираясь на этот материал — это лемма о вложенных отрезках — фундаментальное утверждение, непосредственно следующее из аксиомы непрерывности (полноты) действительных чисел.

  • TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: