Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам о числах, которые испокон веков будоражили разум наших предков. Почему Бог сотворил Землю именно за 6 дней? Почему древние астрономы остановились на том, что период вращения Луны равен 28 дней? И почему евреи придавали мистическое значение числу 496, связывая его с Левиафаном — одним из четырех Князей Тьмы.
Может быть, у этих чисел есть что-то общее? Конечно, есть! Они — совершенные, и этому есть строгое математическое обоснование. Поехали!
Аврелий Августин в сочинении "Град Божий" писал: "Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней".
Итак, в математике совершенным числом называется такое число, сумма делителей которого равна ему самому. Может показаться, что таких чисел, особенно небольших, достаточно много, но первое впечатление обманчиво: уже десятое число в этом списке содержит 54 цифры! Первые же представители чисел-аристократов такие:
С увеличением чисел, совершенные среди них встречаются всё реже и реже. Первый алгоритм поиска таких чисел придумал и описал Евклид, а затем его подлинность строго доказал Леонард Эйлер (ну кто же еще?) :
Эйлер доказал, что все совершенные числа имеют вид такой вид
Казалось бы, дело в шляпе! Однако реалии печальнее. Простые числа вида 2^p — 1 — это простые числа Мерсенна , которых известно всего лишь 51, соответственно, такое же количество совершенных чисел известно математикам.
Примечание: не все числа 2^p — 1 простые. Минимальный контрпример — 2^4 — 1 = 15 — составное число.
Обратите внимание, что выше по умолчанию ничего не говорилось про четность, потому что существование нечетных совершенных чисел — одна из основных загадок теории чисел. В 1991 году было доказано, что если такие числа и существуют, то они больше 10^1500, что пока является запредельным для транзисторной логики современных компьютеров.
И еще один факт про совершенные числа — они все являются суммой кубов последовательных нечетных чисел. Впрочем, не всех подряд. Вот пример вычислений первых претендентов:
В Excel посчитал, что следующее совершенное число получается при n=64 и оно равно 33 550 336. Спасибо за внимание!
Читайте также:
- Самый важный среди интегралов.
- Математическая константа, в которой зашифрованы все простые числа.
- TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
