Золотое сечение ни при чём! Оказывается, в последовательности есть бесконечно повторяющиеся циклы!
Однако, для начала освежим в памяти саму последовательность. Напомню, что каждый следующий член этого ряда равен сумме двух предыдущих:
Ладно, скажете Вы! Какие уж там бесконечные циклы, ведь последовательность возрастающая, откуда им появиться!?
Но предостерегу Вас от скорых выводов! А давайте найдем остатки от деления чисел из последовательности Фибоначчи, на 2, 3, 4 , 5? Сказано, сделано:
Удивительно, но остатки от деления образуют вполне себе циклические последовательности. Например, для остатка от деления на "2" получаем цикл "0-1-1" — период равен 3. Для остатка от деления на "4" получаем цикл "0-1-1-2-3-1" — период равен 6.
Именно такие циклы в последовательности Фибоначчи и называются циклами Пизано. Что удивительно, среди всех циклов Пизано нет нечетных, кроме того, что формируется при нахождении остатка при делении на 1. Замечательная картинка в тему:
Яркость указывает на величину остатка: темная — 0, белая — n-1. Источник: https://oeis.org/A001175/a001175.jpg
На этом рисунке количество кружков равно числам Пизано. Еще один доказанный факт состоит в том, что числа Пизано не превышают величины 6m, где m — это число, для которого вычисляется остаток от деления. Не превышает — значит иногда бывает равным, что выполняется для чисел вида 2*5^k. Например, для k=1 это число равно 10, а его число Пизано равно 60 (можете посчитать кружки на рисунке!).
Любите эти минутки математического наслаждения! Спасибо за внимание!
- Самый красивый метод доказательства
- Удивительные диофантовы пятерки
- TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
