Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику

Приветствую Вас, уважаемые Читатели. На своем блоге я много рассказывал про различные числа: натуральные и целые, рациональные и действительные, комплексные и алгебраические. Все эти числа рано или поздно встречались Вам по жизни. Однако есть и такие числа, например числа Гёделя, которые мало кто использует, кроме ученых, которые исследуют метаматематику – «наднауку», призванную охарактеризовать эту область знаний с метафизических и методологических сторон.

Один из величайших математиков 20 века — Курт Гёдель. Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1534997/pub_5d8b2b11d4f07a00ae4d1f86_5d8b9537ecfb8000b00eb4d8/scale_1200

Тем не менее, понимание чисел Гёделя доступно каждому, кто знаком с элементарной арифметикой (таких, я думаю большинство), а некоторые выводы из теории их построения могут немного шокировать обывателя, в той же степени, в которой они стали «дамокловым мечом» для математиков в середине 20 века. Поехали!

Числа Гёделя

Чтобы к ним подобраться во всеоружии, необходимо вспомнить основную теорему арифметики (я о неё писал подробно в одном из материалов). Из теорему следует, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, причем единственным образом например:

  • 16 = 2*8=2*2*2*2
  • 34= 17*2
  • 98=49*2=7*7*2 и т.д.

Что это даёт нам?

Это даёт нам возможность арифметизации любых математических формул, высказываний, доказательств путем сопоставления каждому из них одного единственного порядкового номера, называемого номером Гёделя. Рассмотрим подробнее как это сделать.

Язык математики состоит из различных знаков операция (умножения, сложения и т.д.), знаков равенства, скобок, переменных и т.д. Курт Гёдель сначала определил минимальный набор таких знаков, вот он:

После этого каждой буквенной переменной (например, х,y,z… и т.д.) можно сопоставить следующие простые числа – 13,17, 19 и т.д. Рассмотрим, например, высказывание

2 * 2 = 4

Как его формализовать? Необходимо под каждым символом написать cоответствующие ему Гёделевы номера:

Ориентируйтесь на первую таблицу

Во второй строке у нас кроме порядковых чисел появились выражения вида ss0 и ssss0 – они означают второй символ и четвертый символ после нуля (2 и 4 соответственно). Их тоже нужно декомпозировать:

Всё понятно? Таким образом, мы получили некоторое числовое сопоставление нашему высказыванию:

2*2= 4 сопоставлено 776 12 776 5 77776

Но хотелось бы это сопоставление ужать, с чем нам успешно поможет справиться основная теорема арифметики. Взяв простые числа 2,3,5… и возведя их в соответствующие степени мы получим натуральное число единственно соответствующее исходному высказыванию. Вот оно:

Вот именно это и только это число (хоть оно и невероятно большое) соответствует высказыванию 2*2=4. Верно и обратно, например, рассмотрим какое высказывание определяет число 995328 ? Для этого разложим его на простые множители:

Восстанавливая по первой таблице, получим высказывание 0 = 0. Вот так!

Таким образом, мы определили, что каждое математическое высказывание можно единственным образом представить в виде натурального числа.

Именно это утверждения стало основой для доказательства теорем Геделя о неполноте, буквально поставивших на колени всех тех, кто пытался создать математическую теорию всего. Гедель показал, что такой теории не может быть в принципе. что каждая аксиоматическая теория в любом случае противоречива, что в рамках любой теории есть высказывания, недоказуемые в ней. Как? Читайте в следующих выпусках!

Читайте подробнее об основной теореме арифметики

Ставьте лайк и подписывайтесь! ! ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

Второй проект канал "Русский язык не для всех".

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: