Что нужно знать для разрешения парадокса бесконечного отеля? Теория множеств — 7

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

В прошлом материале я рассказывал про парадокс бесконечного отеля. Тогда я обещал дать теоретическую основу, которая поможет разрешить его. Итак, встречайте материал про мощность множеств. Это уже 7-ая часть моего курса по теории множеств (ознакомьтесь, если еще не читали его). Поехали!

Что такое мощность множества ?

Мощность множества — это действительно удивительное понятие из мира математики. Поняв его, вы узнаете, что сравнивать можно не только множества из конечного числа элементов, но и бесконечные. Более того и среди бесконечных множеств существуют более и менее "мощные".

Источник: https://24smi.org/public/media/resize/660x-/celebrity/2017/12/20/ymdb0nsndrjt-kardinal-rishele.jpg

Мощность на английском языке читается как cardinality. Поэтому вместо мощности множества часто употребляют кардинальное число множества.

Разговор о нём обычно начинают с такого мысленного эксперимента:

Как понять, кого больше в комнате: стульев или находящихся в ней людей, не пересчитывая их?

Самым логичным решением будет сопоставление: нужно попросить каждого человека занять стул. В итоге мы получим либо свободные стулья, либо оставшихся стоять людей. С точки зрения теории множеств мы попытались произвести биекцию — однозначное сопоставление множества людей и множества стульев.

Данный пример имеет ключевое значение для понимания мощности бесконечных множеств: если возможна биекция бесконечного множества стульев и бесконечного множества людей, мы можем заключить, что эти бесконечные множества равны или по-другому "равномощны".

Вот небольшой пример: множество натуральных чисел n равномощно множеству квадратов этих натуральных чисел:

Операция отображения

Действительно, каждому натуральному числу мы можем однозначно сопоставить его квадрат : 2 -4, 7 — 49, 90 — 8100 и так далее до бесконечности. Отсюда делается вывод, что указанные множества равномощны.

Возникает резонный вопрос: если между бесконечными множествами можно поставить знак равенства, то можно ли для других бесконечных множеств поставить знак больше или меньше? Но обо всём по порядку.

Свойство равномощности множеств (конечных и бесконечных)

Существует три основных свойства:

  1. Отношение равномощности симметрично: если множество А равномощно множеству В, то верно и обратное утверждение.
  2. Отношение равномощности рефлексивно: каждое множество равномощно самому себе.
  3. Отношение равномощности транзитивно: если множество А равномощно множеству В, а множество В равномощно множеству С, то множество А равномощно множеству С.

Счетные множества

Определение. Счетными множествами называются бесконечные множества, равномощные множеству натуральных чисел. Иначе говоря, если мы можем "занумеровать" элементы исходного множества, используя 1,2,3 и т.д, то оно является счетным.

Счетные множества — самые "маленькие" из бесконечных множеств. Их принято обозначать следующим образом:

Чтобы показать, что множество счётное, надо выписать все его элементы по одному разу таким образом, чтобы не пропустить ни один элемент. Например, вот так можно показать, что множество целых чисел Z (если забыли, что это за множество, читайте этот материал) — счетное и равномощно множеству натуральных чисел:

Насчет "натуральности" 0 позиции математиков разнятся

Мы очевидным образом занумеровали все целые числа: дело в шляпе!

Первым свойством счетных множеств является тот факт, что их сложение или прямое произведение также является счётным множеством.

Иными словами, сложение алефа-ноль с алефом-ноль будет равно алефу-ноль.

Второе свойство еще более важное: в каждом бесконечном счетном множестве есть подмножество той же мощности. Звучит странно, но если взять множество натуральных чисел и его подмножество четных натуральных чисел, то они равномощны!

Невероятно, но факт!

Может показаться, что часть равна целому! Ох уж эти бесконечности!

Из текста материала становится ясно, что существуют и бОльшие бесконечные множества, такие как "алеф-один" и т.д. Такие множества называются "несчетными". О них мы поговорим в следующем материале: пока что мы изучили достаточно информации, чтобы полностью разрешить парадокс бесконечного отеля.

*******************************************

Спасибо за прочтение, разрешение парадокса будет в следующем материале! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Первый урок по теории множеств.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

******************************************

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: