Что такое функция? Основания математики, без которых нельзя

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! С функциями и зависимостями каждый из нас непрерывно сталкивается как во время обучения любым наукам, так и в повседневной жизни. В данном случае эмпирика идет перед теорией: все наверно прекрасно понимают, что скрывается под функцией и как их применять, но не все знают четкое её определение. Пришло время восполнить этот пробел. Поехали!

Источник: https://www.culturaeculture.it/wp-content/uploads/2015/05/scuola-italia-riforma.jpg

Итак, все мы знаем, что математика аскиоматична, а её первоосновой является теория множеств. Именно поэтому считается, что самым строгим определением функции является теоретико-множественное.

Если Вы в первый раз сталкиваетесь с терминами теории множеств, рекомендую прочитать мой краткий цикл по этой теме.

Чем такое определение лучше? Скажем так, оно максимально тривиальное и не опирается на такие конструкции как "правило" и "соответствие", что в целом может считаться самореферентностью (кстати, вот пример самореферентной формулы в математике, которая воспроизводит саму себя), т.е. определением функции через саму себя. Это не есть правильно, да и часто приводит к парадоксам.

  • Функцией f будем называть множество упорядоченных пар (x,y) ∈ X ✖ Y, где x ∈ X, причем такие, что эти пары существуют для всех элементов множества Х. Второе условие — если первые элементы (x,y) совпадают, то вторые (Х,Y) — тоже. Например, есть множества Х = {0,1), Y = {1, 1/2}. Тогда f — это множество упорядоченных пар {(0,1), (1,1/2)}.

Стоит дать некоторые пояснения по данному определению:

  1. Что такое упорядоченная пара (эх, люблю математику) ? Зайдем из-за угла. Говорят, что число элементов множества А = {a} равно 1, тогда и только тогда, когда при вычитании этого элемента из множества получается множество пустое, т.е. А {a} = ∅. По аналогии — множеством из двух элементов B = {a,b} называется парой, если при вычитании из него одного из элементов остается второй, т.е. B {a} = {b} или B {b} = {a}.

Теперь нам достаточно определить на множестве порядок, а именно назвать а — первым элементом, а b — вторым. Тогда, упорядоченная пара обозначается (а,b) = {{a},{a,b}}. Второй элемент как раз и определяет порядок, он говорит нам "а перед b". Почему так сложно? А потому, что интуитивное понимания отношения порядка в математике — ничто, пока оно не получит строгое определение

Так же можно определить и упорядоченную тройку и т.д. В математике упорядоченная пара называется кортежем 2-го порядка.

2. "Пары существуют для всех элементов множества Х". Как мы дальше увидим, эта фраза описывает "область задания" или "область определения".

3. Множество Y называется областью значений функции.

4. Множество всех элементов y ∈ Y, для которых существует пара (x,y) ∈ f , x ∈ X, называется множеством значений функции.

5. И самое главное, множество упорядоченных пар f ⊂ X ✖ Y также называется графиком функции.

Пример: даны множества X = {1,2,3,4,5} , Y = {1,4,9,16,25}.

  • Область задания функции — множество {1,2,3,4,5}.
  • Область значений — множество {1,4,9,16,25}.
  • график функции — это множество упорядоченных пар {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25). Остается только отразить это множество на графике:

Таким образом, мы только что ввели понятие функции, основываясь лишь на определении упорядоченной пары из теории множеств. Ну разве это не красиво? Спасибо за внимание!

Читайте также:

  • Самый важный среди интегралов
  • Математическая константа, в которой зашифрованы все простые числа.
  • TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: