Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Про натуральные числа я уже рассказывал на своём блоге, и тогда эта тема вызвала оживленные дискуссии, особенно по причине принадлежности к данному множеству нуля. С практической точки зрения натуральные числа используются для счета предметов, а значит и, если считать нечего, то и 0 натуральным числом быть не может.
Эрнст Цемело — один из создателей аксиоматики натуральных чисел. Источник: https://www.matematikciler.com/wp-content/uploads/matematikciler/zermelo.jpg
В математике этот спор идет давно, а единой позиции так и нет. Лично я придерживаюсь позиции, чтобы считать ноль натуральным числом, потому что само построение натуральных чисел непременно использует 0 как фундамент всего. Сейчас я и расскажу о таком варианте построения, использующем теоретико-множественный подход. Поехали!
Всего основа — пустое множество
Понятие множества как совокупности элементов позволяет всей математике говорить на одном языке. Фактически, это — универсум, всеобщий язык, подобный эсперанто.
А что есть язык математики? В первую очередь — это числа.
Представьте, что натуральных чисел не существует, а есть лишь некие объекты, которые мы еще не умеем считать, не можем ввести отношения порядка между ними и не знаем никаких математических операций. С чего начать их построение?
В теории множеств Цермело-Френкеля мы отталкиваемся от определения пустого множества, которое не содержит ни одного элемента. Символу "0" мы как раз его и сопоставляем (в принципе, сама символика вторична, и может быть какой угодно, например, вместо этого подходит любой набор палочек, букв и т.д.). Получаем вот что:
0 = {} = Ø — с этого момента рекурсивная дорога вперед уже открыта.
Молодые французские математики под общим псевдонимом Николая Бурбаки, которые в 30-х годах 20 века задались целью описать все основы математики заново. Один из них — Андре Вейль и придумал обозначение Ø. Источник: https://shikardos.ru/text/valentin-ivanov-homo-insolitus-novosibirsk-2013-g/101.jpg
Хм, теперь мы можем записать новое множество, обозначив его символом "1", содержащее элемент "0":
1 = {0} = {Ø} — такое множество, единственным элементом которого является пустое множество и пошло-поехало.
Следующими символами "2" и "3" мы определяем такие конструкцию:
2 = {0,1} = {Ø, {Ø}}
3 = {0,1,2} = {Ø, {Ø}, {Ø {Ø}}} и так далее
Обратите внимание, что в таком определении каждый символ соответствует количеству элементов множества, или, по-другому, мощности множества. А это как раз то, что мы и хотели! Теперь мы можем легко сопоставлять объекты символам. Иными словами, мы изобрели натуральные числа!
Вместо R подставьте, например, знак "меньше или равно". Тогда все свойства станут понятны
Более того, мы уже фактически определили на этом множестве порядок, ведь теперь мы можем легко сравнивать числа, опираясь на их теоретико-множественное представление, например:
2 < 4 , потому, что в множестве, обозначенном символом 4 = {Ø, {Ø}, {Ø {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø {Ø}}}} содержится множество с символом 2 = {Ø, {Ø}}, и они не равны между собой!
А что с математическими операциями?
1 + 1 = {Ø} + {Ø} = {Ø, {Ø}} = 2
1 + 1 + 1 = {Ø} + {Ø} + {Ø} = {Ø} + {Ø, {Ø}} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} = 3 = 2 + 1
Таким же образом, через добавление "единичек" формируются все возможные суммы на множестве натуральных чисел. Умножение же будет эквивалентно применению операции сложения некоторое количество раз:
2 * 2 = 1 + 1 +1 + 1 = {Ø} + {Ø} + {Ø} + {Ø} = {Ø, {Ø}} + {Ø} + {Ø} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} + {Ø} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø},{Ø, {Ø}}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø},{Ø, {Ø}}}} = 4
Конечно, теория слегка запутанная, но её красота в фундаментальности. Получается, что в математике нам вообще больше ничего не требуется, буквально, всё делается на пустом месте, так почему же 0 не считать натуральным! Спасибо за внимание!
