Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Что может быть красивее, чем стройность и порядок? Вот и в математике без него никуда. Сегодня я хочу рассказать Вам о таком простом понятии как упорядоченность в том виде, в котором его описал великий Феликс Хаусдорф. Поехали!
Источник: https://alchetron.com/cdn/felix-hausdorff-96f0ea49-4d74-4e3b-bf6e-71d0d09c660-resize-750.jpeg
Итак, многие множества кажутся нам уже по своей природе, имеющими порядок: таковы буквы алфавита и, конечно, натуральные числа:
Кроме того, для таких множеств мы интуитивно можем выбрать и порядок, обратный данному.
С другой стороны, никто не мешает задать любое другое правило упорядочивания: например, поставить четные цифры перед нечетными или наоборот:
Будем считать множество А упорядоченным, если указано правило, по которому один из элементов оказывается предшествующим, а другой — последующим.
Правило упорядочивания должно быть транзитивным. Знак "<" здесь означает "стоит перед"
Но что есть "предшествующий", а что есть "последующий". Вы удивитесь, но и эти понятия в теории множеств поддаются формализации. Для этого введем понятие "упорядоченной пары" следующим образом:
а и b — различные элементы множества А
Тогда множество таких упорядоченных пар можно разбить на два множества P и P* (в теории множеств доказывается, что такое разбиение всегда возможно), с условиями:
- Из двух обратных пар одна принадлежит P, а другая P*.
- Если p = (a,b) и q = (b,c) принадлежит P, то и r = (a,c) принадлежит P.
ПРИМЕР ДЛЯ ПОНИМАНИЯ
Пусть А = {1,2,3,4}. Тогда есть упорядоченные пары P = {(1,2), (1,3) , (1,4), (2,3), (3,4)} и обратные им P*={(2,1), (3,1), (4,1), (3,2), (4,3)}. Первое условие выполнено. Теперь, если p = (1,2) и q = (2,4), тогда r = (1,4) принадлежит P. Второе условие выполнено. Множество P называется упорядочивающим множеством пар для упорядоченного множества А. Теперь вместо длинных записей с упорядоченными парами можно строго прийти к знакомому виду:
А можно и знак ">". Пока всё на уровне абстракций можно вводить свои правила.
Что можно делать с упорядоченными множествами? Для начала классифицировать:
- У этого множества нет первого и последнего элемента;
- У этого множества нет последнего элемента, а — первый элемент;
- У этого множества нет первого и последнего элемента, но есть соседние элементы, между которыми ничего нет;
- У этого множества нет первого элемента, с — последний элемент.
Наконец, необходимо определить подобные упорядоченные множества. Для этого между множествами ищут возможность построить биекцию, сохраняющую порядок:
Достаточно подробно описал. Кстати из биекции следует, что подобные множества равномощны
Все подобные между собой упорядоченные множества относят к одному порядковому типу. Самый известный из них — это порядковый тип множества натуральных чисел:
Оказывается у порядковых типов есть очень занимательная арифметика, например, с равенствами вида 1+1+1+1+1+….= ω, 1+2+3+4+5+….= ω. С этими удивительными вещами разберемся в следующих материалах. Спасибо за внимание!
А пока что подборка материалов по теории множеств на моём канале:
- Про фактормножество нескучно
- Дедекиндово сечение
- Отношение эквивалентности
- Величайшее открытие Георга Кантора
- Числа, которые больше бесконечности
- TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
