Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Итак все Вы слышали про натуральные, рациональные и целые числа. Кроме того, немного вспомнив курс школьной математики на ум придут иррациональные и, может быть, комплексные. Но есть в царстве чисел особые объекты, уверяю, до боли Вам знакомые, выделяющиеся среди своих собратьев — это трансцендентные числа, о которых и поговорим в этой статье. Поехали!
В философии — выходящий за рамки чувственного и метафизического познания
Что за слово — трансцендентность?
Слово происходит от латинского transcendere — переходить, превосходить. И это действительно подходящее название. По отношению ко всем другим числам трансцендентные являются "белыми воротничками".
Дело в том, что остальные числа вовсе не чураются быть корнями алгебраических уравнений, в то время как трансцендентные в уравнения силком не затащишь.
Комплексные числа (которые вида x+iy, где i — мнимая единица — писал о них недавно) делятся на два непересекающихся класса чисел: алгебраические (могут быть корнями алгебраических уравнений) и трансцендентные. Что такое алгебраическое уравнение? Вот примеры:
Если кратко, то к алгебраическим уравнения можно отнести те уравнения, коэффициентами при неизвестных которых являются любые целые или рациональные числа.
Каждое из вещественных трансцендентным чисел является иррациональным, а вот обратное неверно. Например,
Кроме того, известно, что если сложить два трансцендентных числа, умножить, извлечь корень или возвести в натуральную степень, результат будет трансцендентным.
Так какие числа трансцендентны?
Как и обещал, почти каждому из Вас знакомы эти товарищи:
- число пи = 3,1415;
- число Эйлера е = 2,71828, которое появляется во втором замечательном пределе;
- постоянная Гельфонда, равная е в степени пи;
- десятичный логарифм любого натурального числа, естественно, кроме 10 в степени n (тогда этот логарифм по определению равен n);
- синус, косинус и тангенс любого ненулевого алгебраического числа.
С трансцендентными числами связана одна из 23 математических проблем (7-ая по счету), сформулированных великим Давидом Гильбертом (который, кстати, жил и творил на территории современной России):
Эту проблему решил в 1934 советский математик Александр Осипович Гельфонд, доказав трансцендентность таких чисел.
Кстати, а Вы читали мою статью про советских математиков-фронтовиков?
Еще один интересный факт состоит в том, что несмотря на кажущуюся малочисленность трансцендентных чисел гораздо больше чем алгебраических. Вы воскликните: "Но как одних чисел может быть больше, чем других, ведь и тех и тех — бесконечность!?". Ответ нам даст теория множеств и 7-ая часть этого цикла, посвященная мощности множеств, которую я выпущу для Вас на днях. Подписывайтесь, чтобы знать больше!
***********************************************************************
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
