Диаграммы Эйлера-Венна (помните, что это?) и доказательство законов де Моргана для множеств

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Внимание: важная информация перед прочтением!

Если Вы новичок в теории множеств, ознакомьтесь, пожалуйста, со следующими материалами канала:

Часть 1. Изучаем топологию или почему человек — это шар с ручками?
Часть 2. Определения множества и подмножества.
Часть 3. Бинарные операции над множествами.
Часть 4. Унарные операции над множествами

Перейдем к делу: в теории множеств у нас осталось совсем немного белых пятен, которые необходимо закрыть. Сегодня поговорим об удобном и наглядном представлении операций над множествами: диаграммами Эйлера-Венна, а также рассмотрим, как через них доказываются два ключевых закона логики — законы де Моргана. Поехали!

Диаграммы Эйлера-Венна

Эти диаграммы — отличный способ визуализировать операции над множествами, рассмотренные в этой и этой статье. Отдельные множества на этих диаграммах задаются кругами, а универсальное множество (здесь ооочень подробно о нём) — прямоугольником.

1. Дополнение множества.

2. Объединение множеств.

3. Пересечение множеств.

4. Разность множеств.

5. Симметричная разность множеств

На диаграммах Эйлера-Венна могут быть три и более окружностей. Очевидным их преимуществом является наглядность: например, вот так выглядит диаграмма пересечений букв русского, латинского и греческого алфавита.

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Venn_diagram_showing_Greek%2C_Latin_and_Cyrillic_letters.svg/434px-Venn_diagram_showing_Greek%2C_Latin_and_Cyrillic_letters.svg.png

Законы де Моргана

Несмотря на простоту, законы де Моргана применяются в физике, электротехнике и информатике. С их помощью оптимизируются схемы посредством замены одних логических элементов другими (кстати, вот канал моего товарища — на нём он неторопливо и вдумчиво рассказывает о современных технологиях, начиная с транзисторной логики и заканчивая прикладными приложениями). Эти законы пришли в теорию множеств из математической логики и изначально под А и B понимались не множества, а утверждения.

Суть первого закон де Моргана такова:

То есть: дополнение объединения множеств равно пересечению отдельных дополнений этих множеств (напомню, что когда говорим об операции дополнения множества А, подразумеваем разность UA, где U — универсум (универсальное множество). Докажем первый закон де Моргана с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Закончили с левой частью закона, перейдем к правой:

Таким образом, мы пришли к одинаковым диаграммам двумя разными путями, т.е. доказали справедливость первого закона де Моргана. Второй закон де Моргана выглядит обратным первому:

То есть: дополнение пересечения множеств равно объединению отдельных дополнений этих множеств. Доказательство второго закона идентично первому: оставлю его любопытному читателю.

ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ! Этим Вы максимально мотивируете меня на создание интересного и познавательного контента. Ведь, если математика не для всех, то не значит, что она не для Вас конкретно! В теории множеств осталось рассмотреть только функционал отображения множеств, и пойдем дальше к изучению топологии.