Диофантовы пятерки, ускользающие от математиков почти 2000 лет

Между тем, решения это проблемы даже на горизонте не предвидится, хотя есть некоторые частные успехи.

Диофант Александрийский. Источник: https://nauka.club/wp-content/auploads/938411/pridumal_algebru.webp

Прежде всего хотелось бы немного погрузить в курс дела. Диофант — последний из величайших греческих математиков. Его вклад в математику настолько велик, что его иногда называют "отцом алгебры".

Однако наиболее известными являются т.н. "диофантовы уравнения" — уравнения с произвольным количеством неизвестных, решения которых необходимо искать только в целых числах (в некоторых случаях в рациональных).

Пример диофантовых уравнений

Множества решений определенных уравнений часто имеют собственные названия. Например, второму уравнению на рисунке выше удовлетворяют т.н. "пифагоровы тройки" — очевидно, что решения данного уравнения являются сторонами прямоугольного треугольника.

  • Проблеме диофантовых уравнений даже была посвящена одна из 20 великих математических задач XX века — читайте материал про необычную судьбу этой проблемы.

Те или иные диофантовы уравнения могут иметь конечное или бесконечное число решений, а могут не иметь вовсе. Самым простым примером последнего является уравнение вида:

Добавьте описание

Такое уравнение в целых числах решений не имеет решений: какие бы целые числа не выбрать вместо x и y, слева не получится нечетного числа.

В своих исследованиях Диофант хотел найти некие особенные последовательности: в них сумма любого попарного произведения и единицы представляет собой полный квадрат. Такие множества чисел можна описать системами диофантовых уравнений:

Впрочем, сам Диофант при жизни так и не обнаружил целый пример (странно, почему?). Ему удалось найти лишь четверку рациональных чисел, которую найти, мягко говоря, сложнее:

Добавьте описание

Здесь, например, (17/4*105/16) + 1 = 1849/64, что является квадратом числа 43/16. Математики условились называть такие последовательности чисел диофантовыми тройками, четверками, …

Вот только уже на пятерках пришлось резко притормозить, ведь ни у кого в течение почти 2 тысяч лет на получалось их найти. Впрочем, и здесь засветился Леонард Эйлер. У него получилось дополнить четверку Ферма, но только рациональным числом:

Можете проверить и другие равенства! Просто удивительно, как это можно было обнаружить в докомпьютерную эпоху!

Уже в 20 веке было доказано, что добавить иное целое число в данную последовательность не получится.

Кроме того, хорватский математик Андрей Дуелла в 2004 году показал, что если диофантовы пятерки и существуют, то их количество конечно. Ему удалось показать, что входящие в такой набор числа, не превосходят 10^10^26.

Для диофантовых троек и четверок на данный момент разработаны общие решения. Например, известно, что если существует

Второй вывод из статьи в том, что диофантовых шестерок в целых числах не существует. Про рациональные числа это утверждение ложно, и тому есть примеры:

{9/140, 47/105, 608/105, 1225/12, 347072/176505, 121275/6724}

Про целые диофантовы пятерки до сих пор ничего конкретного неизвестно, но, как говорится, дорогу осилит идущий! Спасибо за внимание!

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: