Фактормножество — применяете каждый день, но знать не знаете, что это. Объяснение без формул

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Пару недель назад я уже писал о таком понятии как "отношение эквивалентности". Ознакомьтесь с этим материалом, потому что это — ключевой момент к теоретико-множественному пониманию определения "фактормножество".

Формул в этом материале не будет, так что смело листайте дальше. Материал на понимание.

Почему я в заглавии написал, что каждый из нас постоянно использует это понятие? Всё просто: мы делим людей на мужчин и женщин (надеюсь, в нашей стране по-другому никогда и не будет), яблоки на желтые, красные и зелёные, граждан на российских, украинских, американских и т.д. Реализуя эти мыслительные операции, мы каждый раз, сами того не понимая, строим фактормножество. Давайте разберемся подробнее в этом простом, но важном понятии. Поехали!

Источник: https://youdn.ru/files/uploades/5cc0d167eb14f.jpg

Итак, для начала определим на множестве людей "отношение эквивалентности" в виде согражданства. Мы называем его эквивалентностью потому, что оно удовлетворяет трем свойствам:

1. Симметричность. Если первый человек согражданин второго, то и второй — согражданин первого.

2. Рефлексивность. Любой человек является согражданином для самого себя

3. Транзитивность. Если первый и второй, второй и третий — сограждане, то первый и третий — тоже сограждане.

Вот еще одно разбиение по эквивалентности : касты древней Индии. Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1712263/pub_5e1833411febd400ae3b5691_5e1839b511691d00ae970445/scale_1200

Теперь, обладая таким отношением, мы можем разделить всех людей на планете на т.н. "классы эквивалентности", в каждом из которых находятся лишь люди, имеющие одно гражданство. Иными словами мы имеем некий классифицирующий признак, отправляющий людей в одну и ту же "корзину":

Давайте будем считать, что каждый человек может иметь только одно гражданство.

Классы эквивалентности — названия стран

Множество самих классов эквивалентности называется фактормножеством по отношению эквивалентности для данного множества и обозначается X/~.

Отображение X —> X/~ называется каноническим отображением и является сюръекцией (отображением "на"). Иными словами у каждого элемента фактормножества X/~ есть хотя бы один прообраз в множестве X.

Надеюсь, что данный материал станет полезным для тех, кто только начинает разбираться в теории множеств. В дальнейшем я расскажу о факторгруппах, факторкольцах, а, может быть, и о фактортопологиях. Спасибо за внимание!

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: