Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать о теореме, тронувшей, не побоюсь этого слова, все струны моей души. Речь пойдет о гипотезе 1883 года за авторством английского математика Джона Сильвестра.
Источник: https://i1.wp.com/isralike.org/wp-content/uploads/2018/12/images7Ccms-image-000007846.jpg?fit=865%2C390&ssl=1
В оригинальной формулировке она звучит так:
Дан конечный набор точек на плоскости такой, что для любых двух из них найдется третья, лежащая с ними на одной прямой. Тогда все эти точки лежат на одной прямой.
Проще сформулировать эту теорему наглядно, смотрите:
Конечно, важным ограничением для данной теоремы является ограниченность набора точек. Не будь этого требования, мы бы попали в бесконечный цикл нахождения третьей точки по двум заданным и конструктивного решения бы найти не смогли.
Условие, на самом деле очень простое, поэтому перейдем к доказательству. Доказывать будем самым красивым методом — от противного.
Для этого предположим, что существуют такие пары (p,l), где l — прямая, проходящая по крайней мере через две точки нашего набора, а точка p — не принадлежит l (но тоже из нашего набора). На рисунке проще простого:
Тогда найдется такая пара (p,l), изображенная на рисунке ниже, что расстояние от точки p до точки l минимально.
А теперь самая красота! Взгляните на рисунок выше. Предположив, что теорема верна, мы согласились с тем, что помимо двух точек А и B на прямой найдется третья точка C. Замечательно то, что не важно, где она находится относительно точек А и В, потому что в любом случае основание Q перпендикуляра разобьет прямую l на два луча, в одном из которых по крайней мере две точки (в нашем случае A и B).
Теперь рассмотрим точку А, которая наиболее удалена от P и проведем через них прямую m:
——————Внимание! Ключевая идея доказательства——————
Проведем перпендикуляр BR к прямой m. Он меньше, чем перпендикуляр PQ. Таким образом мы получили новую пару точка-прямая (B,m), в которой расстояние между точкой и прямой минимально. Противоречие! Ведь до этого мы предположили, что рассмотрели ВСЕ пары и нашли из них минимальную.
Значит, наше предположение о существовании таких пар (где точка не принадлежит прямой) неверно, из чего следует, что ВСЕ точки лежат на одной прямой. Доказательство уникальной красоты окончено!
Интересно то, что гипотеза Сильвестра превратилась в теорему через год после публикации в Вестнике американского математического общества в 1933 году. Венгерский математик Тибор Галлаи решил проблему, поэтому теперь теорема носит название "Теорема Сильвестра-Галлаи".
Но это еще не всё. Обратите внимание, что в доказательстве мы пользовались фразами:
"точка p не принадлежит l" — это т.н. аксиома инциндентности;
"точка Q лежит между B и С" — это аксиома порядка;
"минимальное расстояние" — а это уже ссылка на то, что мы находимся в метрическом пространстве.
Номан Стинрод. Источник: https://www.peoples.ru/science/mathematics/norman_steenrod/steenrod_2.jpg
После 1934 года математики начали искать доказательство, которое исключает третий пункт (с первыми двумя так сделать не получится). И. конечно, помощь пришла из топологии, ведь кто, как не топологи, могут наплевать на расстояние с высокой башни? Доказательства Стинрода удивительно простое (для топологов), но вывод способен понять каждый: теорема Сильвестра-Галлаи — еще один удивительный пример универсальности математического мировоззрения. Спасибо за внимание!
- Если Вы хотите больше разобраться в теме, читайте мой материал о том, что такое расстояние.
- TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
