Как Евклид доказал, что простых чисел — бесконечность, и что это за числа? (ч.1)

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу начать цикл статей про простые числа: расскажу про их историю, интересные факты, связанные с ними, применение и различные вариации их видов. Простые числа стали объектом изысканий еще в Древней Греции. С тех пор интерес к ним не только не угасал, но с развитием науки и техники многократно усилился, особенно когда стало понятно, что за "золотая жила" находится в руках математиков. Поехали!

Источник: https://www.interesnie-fakty.ru/wp-content/uploads/2019/11/Matematik.jpg

Первым исследователем простых чисел был Евклид. Его пытливый разум заинтересовали такие числа, которые имеют только два натуральных делителя: единицу и себя самого. Вот пример таких чисел:

Попробуйте взять, например, число 43 и попытаться разделить его хоть на что-нибудь. Получится совсем немного). Источник: https://i2.wp.com/sites.google.com/a/nevada.k12.ia.us/nmsselfpacedmath/_/rsrc/1472844382720/prime-numbers-1-1000/Screen%20Shot%202015-11-06%20at%207.51.25%20AM.png

Всего имеется 159 чисел, меньше 1000, которые являются простыми. Однако логично предположить, что таких чисел бесконечно много. Эта догадка пришла и Евклиду, который, впрочем, не стал останавливаться на достигнутом и набросал элегантное доказательство этого факта, причем настолько тривиальное, что за 2000 лет, которые прошли с этого момента, доказательство ни на йоту не было поправлено. Итак:

Пусть имеется конечное число простых чисел. Число называется составным, если оно не простое.

Рассмотрим число S и ответим на вопрос: какое оно ?

Во-первых, оно не простое: действительно, ведь оно точно больше (мало того, что +1, так еще и произведение) самого большого простого числа, которым мы условились считать за Pn.
Во-вторых, оно, видимо, не составное: ведь при делении на каждое число из ряда P1, P2…Pn и т.д. получаем остаток 1. Но так быть не может, ведь основная теорема арифметики утверждает, что КАЖДОЕ число можно представить как произведение своих простых делителей!

Таким образом, получаем, что число S должно делиться на какое-то простое число, большее заданного нами, что говорит, что наибольшего простого числа не существует, а следовательно их количество бесконечно!

Спасибо за внимание! В следующей статье рассмотрим, как находили простые числа математики древности и как визуализировали этот процесс: впереди еще очень много интересного!. Кстати, темы простых чисел я уже касался в статье про самую красивую математическую картину.