Как геометрия позволяет выводить формулы из тригонометрии. Простой пример даже для школьника

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Вывод тригонометрических формул — штука не тривиальная. Множество примеров использует формулу Муавра и тождество Эйлера, однако сегодня я хочу Вам показать чудесный геометрический способ выведения формулы синуса двойного угла. Поехали!

Итак, нам понадобится окружность и вписанный в неё треугольник:

Проведем через центр окружности диаметр АD, а также достроим четырехугольник ABCD:

Напомню, что если угол опирается на диаметр, то он угол — прямой, что я и показал выше. Теперь начинаем приближаться непосредственно к выводу формулы:

Рассматриваем прямоугольные треугольники ADC и ABD и выражаем противолежащие и прилежащие катеты через определение синуса и косинуса:

Теперь необходимо вспомнить следствие из теоремы синусов:

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности

В нашем случае это описывается равенством:

Так, стороны и диагонали четырехугольника выразили, но что с ними делать? Вот здесь на помощь приходит Клавдий Птолемей и его знаменитая теорема, утверждающая, что:

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме попарных произведений противоположных его сторон.

Клавдий Птолемей призывает остановиться Источник: https://fb.ru/misc/i/gallery/91036/2610931.jpg

Кстати, в одном из прошлых материалов я показывал, как эта теорема доказывается. Ознакомиться можно здесь.

Но вернемся к нашей задаче:

Не ждем и сразу подставляем в формулу, проводим простейшие преобразования и получаем:

Формула готова! Применяйте геометрию, где только можете, ставьте "Нравится" этому материалу и подписывайтесь на канал! Спасибо за внимание!

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: