Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Вывод тригонометрических формул — штука не тривиальная. Множество примеров использует формулу Муавра и тождество Эйлера, однако сегодня я хочу Вам показать чудесный геометрический способ выведения формулы синуса двойного угла. Поехали!
Итак, нам понадобится окружность и вписанный в неё треугольник:
Проведем через центр окружности диаметр АD, а также достроим четырехугольник ABCD:
Напомню, что если угол опирается на диаметр, то он угол — прямой, что я и показал выше. Теперь начинаем приближаться непосредственно к выводу формулы:
Рассматриваем прямоугольные треугольники ADC и ABD и выражаем противолежащие и прилежащие катеты через определение синуса и косинуса:
Теперь необходимо вспомнить следствие из теоремы синусов:
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности
В нашем случае это описывается равенством:
Так, стороны и диагонали четырехугольника выразили, но что с ними делать? Вот здесь на помощь приходит Клавдий Птолемей и его знаменитая теорема, утверждающая, что:
Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме попарных произведений противоположных его сторон.
Клавдий Птолемей призывает остановиться Источник: https://fb.ru/misc/i/gallery/91036/2610931.jpg
Кстати, в одном из прошлых материалов я показывал, как эта теорема доказывается. Ознакомиться можно здесь.
Но вернемся к нашей задаче:
Не ждем и сразу подставляем в формулу, проводим простейшие преобразования и получаем:
Формула готова! Применяйте геометрию, где только можете, ставьте "Нравится" этому материалу и подписывайтесь на канал! Спасибо за внимание!
