Как Кантор сделал одно из величайших открытий математики

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу Вам рассказать об удивительном открытии, которое сделал в 19 веке создатель теории множеств Георг Кантор.

С помощью придуманного им метода, Кантор просто перевернул взгляды математиков на числа и бесконечность. Ему удалось доказать, казалось бы, парадоксальный факт — рациональных чисел столько же, сколько и натуральных. Поехали!

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Georg_Cantor-_colorized.jpg/250px-Georg_Cantor-_colorized.jpg

Почему парадоксальный? Посудите сами: если натуральные числа 1,2,3 и т.д. расположено на четких интервалах в единицу (такая уж аксиоматика), то с рациональными числами все по-другому.

Уже на отрезке от 0 до 1 можно вместить бесконечное множество рациональных чисел, разбивая и разбивая отрезок на всё меньшие: 1/2, 1/4, 1/8 и т.д.

Всегда найдет место, куда вставить еще одну дробь. Говорят, что множество рациональных чисел всюду плотно.

Теперь стоит сделать ремарку о сравнении бесконечных множеств, ведь ни у кого же не возникает сомнений что и рациональных и натуральных чисел именно столько?

Процесс сравнения бесконечных множеств заключается в взаимно-однозначном сопоставлении элементов друг другу, иначе говоря биективным отображением элементов одного множества в другое. В таком случае говорят, что множества равны или равномощны.

Посмотрим же, что сделал Кантор, чтобы сопоставить рациональные и натуральные числа. Математик придумал оригинальное представление всех рациональных чисел вот такой таблицей:

Ходы Кантора указаны стрелками.

В такой таблице, как не трудно убедиться, есть все рациональные числа, какие только можно представить. Осталось их посчитать.

Проблема в том. что вправо или вниз идти нельзя, ведь там — бесконечность, поэтому Кантор решил "ходить" диагоналями, как бы захватывая все числа в цепочку и не оставляя позади ни одно из них.

Следующим шагом Кантор разворачивает всю цепочку в ряд и убирает те рациональные числа, которые в ней повторяются:

Убедившись с помощью своего диагонального аргумента, что им перечисляются ВСЕ рациональные числа, Кантор проводит сопоставление их с натуральными числами, тем самым доказывая, что их множества равномощны, а значит рациональных чисел счётное количество.

Источник:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Aleph0.svg/1200px-Aleph0.svg.png

Такую мощность Кантор назовет "алеф-0", и это будет самой "маленькой" из известных бесконечностей, первый бесконечный кардинал. Такой кардинал имеют все подмножества рациональных, целых и натуральных чисел и даже конечные и бесконечные суммы этих множеств.

Именно поэтому в доказательстве мы не рассматривали отрицательные рациональные числа и ноль, ведь сумма счетных множеств — само счётное множество.

А как же действительные числа? Сколько их? Об этом я продолжу повествование уже совсем скоро. Спасибо за внимание!

Читайте также:

  • Самый важный среди интегралов
  • Математическая константа, в которой зашифрованы все простые числа.
  • TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое .
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: