Криволинейная трапеция — именно так называется фигура на рисунке ниже. Она образована графиком некоторой неотрицательной непрерывной функции и ограничена им сверху.
Слева и справа фигура ограничена вертикальными линиями х=а и х=b, а снизу — осью абсцисс.
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции придется вспомнить школу, а именно замечательную формулу Ньютона-Лейбница:
Источник: https://image2.slideserve.com/3818359/slide7-l.jpg
В этой формуле F(b) и F(a) — значение первообразной функции f(x) в точках а и b.
Если вдруг забыли, то первообразная от f(x) — это такая функция F(x), что верно равенство F'(x) = f(x). Надеюсь, воспоминания всколыхнет такая табличка:
Источник: https://www.mosrepetitor.ru/pictures/Fomula_Matem/f_026.jpg
Давайте уже перейдем к конкретному примеру, в результате которого Вы не только вспомните школьную математику, но и поймёте физический смысл формулы Ньютона-Лейбница:
Итак, имеем такой рисунок. Требуется найти площадь заштрихованной фигуры, которая по всем перечисленным в начале статье параметрам подходит под определение криволинейной трапеции.
Дело за малым — вычислить определенный интеграл:
График расположен целиком выше оси х. В обратном случае перед интегралом мы бы поставили "-".
Всё сходится!
А что же из себя представляет эта формула, почему она вообще работает?
В данном случае снизу график ограничен прямой линией. В общем случае с помощью этой формулы находится и площадь между разнообразными кривыми.
Дело в том, что мы находим площадь, разбивая криволинейную трапецию на бесконечно малые прямоугольники, площадь которых легко вычислить. (см.рис).
Затем складываем эти прямоугольники, а интегрирование суть непрерывное сложение.
Вуаля! Результат, ставший одним из самых важных достижений математики в истории. обоснован "на пальцах".
Однако, стоит сказать, что первое применение такого метода разбиений принадлежит еще древним грекам.
Да-да, именно Архимед может считаться отцом интегрального счисления — читайте мой материал про одну и его менее знаменитых теорем.
