Как оценить математический беспорядок или зачем нужен субфакториал !n ?

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать вам об одной математической операции, название которой кажется до боли знакомым, да и обозначение "!n" также никак не уводит в сторону от известного всем факториала n! = 1*2*3*…*n. Однако, у субфакториала есть свои особенности, да и смысл его использования в комбинаторике совсем другой. Посмотрим подробнее. Поехали!

Николай Ьернулли — именно он впервые рассмотрел субфакториал. Источник: https://famous-mathematicians.com/images/swiss-mathematicians/nicolaus-bernoulli.jpg

Итак, если факториал определяет количество перестановок, возможных в наборе из n объектов, то субфакториал характеризует количество беспорядков в таком же наборе. Проще всего понять, что такое факториал на жизненном примере. Возьмем некоторое количество писем и конвертов и пронумеруем их:

Теперь наша задача в том, чтобы создать максимальный беспорядок, а именно сделать так, чтобы каждое письмо оказалось не в том конверте, для которого предназначено. На рисунке я показал один из способов такого распределения.

Вы уже, наверное, догадались, что именно субфакториал определит количество таких возможных перестановок, в комбинаторике называемых смещениями.

Формула для вычисления субфакториала сложностью не отличается:

Формула была выведена Николаем Бернулли еще в 1713 году.

Единственное, что восклицательный знак ставится перед переменной. Для примера вычислим !4:

Значит, в наборе из 4 писем есть 9 вариантов навести тотальный хаос!

Еще одна интерпретация задачи: профессор дал тест 4 студентам – 1, 2, 3 и 4 – и хочет, чтобы они оценили тесты друг друга. Конечно, ни один студент не должен оценивать свой собственный тест. Сколько существует способов, чтобы никто не получил обратно свой собственный тест для проверки?

Видно, что таких случаев 9, как и должно быть по формуле.Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Derangement4.png/800px-Derangement4.png

Судя по формуле, субфакториал всегда меньше факториала, ведь в скобках величина всегда меньшая, чем 1/2 для n>3. Поразительно, но факториал и субфакторила лаконично связаны через постоянную Эйлера, и это действительно очень красиво:

Просто вычисляем ближайшее целое число к полученному результату

Ну и напоследок еще одно феноменальное совпадение — единственное известное математикам число-субфакторион:

Спасибо за внимание! Не переставайте узнавать новое и тянуться к знаниям, даже если в этом нет сиюминутной практической пользы.

Читайте также:

  • Какой бывает бесконечность ?
  • Числа, которые больше бесконечности
  • Почему 2 больше, чем 1 ?
  • TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: