Нужно только уметь проводить простейшие арифметические вычисления
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам о методе бисекции или в некоторых источниках методе дихотомии, с помощью которого Вы сможете с наперед заданной точностью найти решение любого уравнения в вещественных числах.
- Поправочка: сможете — это не значит, что Вы не устанете за время решения. Метод простой, что компенсируется очень медленной сходимостью к результату.
Огюстен Коши. Источник: https://www.thefamouspeople.com/profiles/images/augustin-louis-cauchy-2.jpg
Итак, метод основан на следствии из теоремы Больцано-Коши, согласно которому, если непрерывная функция на концах отрезка меняет знак, то на этом отрезке она обязательно обращается в ноль (может и не раз!). Это просто:
Нагляднее некуда! Метод бисекции заключается в выполнении следующего алгоритма:
Таким образом мы сжимаем отрезок, внутри которого обязательно попадется корень нашего многочлена (прослеживается взаимосвязь с леммой о вложенных отрезках).
Давайте попробуем решить такое уравнение:
Первое, что нужно — это определить концы первоначального отрезка. Для этого мы прикидываем на координатной плоскости, когда функция претерпит смену знака.
В нашем случае удобно будет взять отрезок [1,2]. Начнем вычисления:
Задавшись некоторой точностью, мы всегда можем найти подходящее условие. Однако сделать это будет не просто. Количество шагов для достижения требуемой точности рассчитывается по формуле:
Конечно, способ для реального применения не подходит. С другой стороны — это отличный пример для обучения основам алгоритмов и программирования в школе. Спасибо за внимание!
Читайте также
- Удивительные числа Фибоначчи всегда полны открытий
- Как найти площадь такой фигуры?
- Как решали квадратные уравнения 1200 лет назад?
- TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
