Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Недавно в средствах массовой информации появилось совместное исследование сейсмологов из Уханьского и Миссурийского университетов. В своей статье ученые определили, что последовательность крупных землетрясений, возникающих на Земле, можно с большой точностью аппроксимировать особой функцией — так называемой канторовой лестницей, метко называемой "дьявольской". Разберемся же, почему? Поехали!
Источник: https://s3.wi-fi.ru/cp3o/hkA5zWHdbpgVi8mfBK4bRNDR?response-content-type=image/jpeg
Почему дьявольская?
Естественно, когда немецкий математик Георг Кантор формализовал свою функцию, никакой приставки "дьявольская" у нее не было. Конечно, оно употреблялось, но приобрело воистину говорящее значение намного позже, когда два ученых Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе анализировали периодичность преступлений, совершенных Андреем Чикатило. Пытаясь понять, как работает мозг преступника, исследователи пришли к выводу, что он подчиняется определенному закону.
Короткие интервалы между преступлениями встречаются намного чаще, чем длинные
Итак, что за лестница?
Сравните с графиком выше. Определенная связь налицо! Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/a/ad/Kantor_Stairs.png/500px-Kantor_Stairs.png
Канторова лестница — это непрерывная монотонная функция, которая не являясь константой, имеет производную равную нулю (!!! если на пальцах, то производная показывает скорость изменения функции, если функция является константой, то она и не изменяется, то есть её производная равна 0) почти во всех точках. Другими словами она является сингулярной функцией. Функция отображает значения аргумента из отрезка [0,1] в этот же отрезок (читайте мою статью про отображения множеств). Сложно? Не тут-то было!
Как задается дьявольская лестница?
На самом деле очень просто — буквально на пальцах. Для этого берется интервал от 0 до 1 и делится на три части :
На среднем интервале значение функции принимается равным 1/2 (длинная полочка в середине графика). На следующем этапе берется левая и правая трети, и разбиение повторяется:
Например, на левой трети интервал разбит еще на три части, каждая длиной по 1/9. Значение же канторовой лестницы вычисляется как среднее между левым и правым значением, найденными на прошлой итерации. Так, K(x) в интервале от 1/9 до 2/9 равняется среднему от 0 (значение слева) и 1/2 (значение справа). Аналогичным способом действия происходят и с правой стороны.
Теперь у нас появляются новые интервалы : (0,1/9), (2/9,1/3), (2/3, 7/9) и (8/9,1).
Ну и дальше по этому алгоритму начинаем дробить все интервалы до бесконечно малых величин. Получаем отраженные на графике "полочки" и скачкообразные переходы значений функций.
Кстати, определяемое по этому алгоритму множество (помните, что это такое?) называется по аналогии "канторовым" — и является одним из простейших фракталов — множеством подобном самому себе. А уж о практической значимости фракталов в современной науке можно говорить ОЧЕНЬ долго и упорно"
Вот так, теоретическая до мозга костей математическая конструкция, известная еще с конца 19-века, находит своё неожиданное применение в реальной жизни. Никогда не переставайте удивляться математике!
Например, прочитайте статью из цикла "Формулы, изменившие мир", в которой речь пойдет об Эйлеровой характеристике.
********************************************
Спасибо за прочтение! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
******************************************
