Самая первая из открытых минимальных поверхностей. И, конечно, без Леонарда Эйлера тут не обошлось.
Минимальные поверхности первым стал рассматривать Лагранж в 18 веке. Он задался вопросом найти поверхность минимальной площади, натянутой на заданный контур. Тем не менее, эта задача получила имя в честь бельгийского физика Жозефа Плато, который исследовал различные метаморфозы, происходящие с мыльными пленками.
Жозеф Плато Источник: https://images.newscientist.com/wp-content/uploads/2019/10/14131027/ffamgr.jpg
Плато экспериментировал с проволочными планками, на которые наносил мыльный раствор. В результате иногда получались просто завораживающие вещи:
Термин "минимальная поверхность" относится к любой поверхности с локально минимальной площадью. Слово "локально" означает, что если мы посмотрим на небольшую область вокруг любой точки поверхности, то не сможем уменьшить её площадь.
Катеноид — первая и самая простая из минимальных поверхностей, которую Вы можете получить у себя дома. Для этого надо взять два проволочных кольца и мыльный раствор, а затем немного растянуть их друг от друга:
Источник: https://blogs.scientificamerican.com/blogs/assets/File/catenoid.png
С математической точки зрения катеноид представляет собой поверхность второго порядка, полученную вращением цепной линии ( о ней я подробно рассказывал в задаче о двух столбах и натянутой между ними веревке).
Источник: https://blogs.scientificamerican.com/blogs/assets/File/Catenoidgif.gif
Присмотревшись, можно увидеть, что катеноид — это цилиндр с "узкой талией".
Еще одно важное наблюдение можно произвести, если растягивать проволочные кольца до того момента, как мыльный пузырь не лопнет:
Обратите внимание, как верхняя и нижняя кривые линии идеально уравновешивают друг друга! Математически это означает, что катеноид, как и все минимальные поверхности, имеют нулевую среднюю кривизну.
У катеноида есть настоящая сверхспособность. Всего лишь одним разрезом и осторожными манипуляциями он может превратиться в геликоид, еще одну минимальную поверхность:
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Helicatenoid.gif
Катеноид и геликоид были математически описаны Леонардом Эйлером. В течение следующих сотен лет, математический зоопарк пополнился намного более причудливыми минимальными поверхностями, однако, превзойти катеноид в изяществе и простоте уже не получился ни у кого. Спасибо за внимание!
Читайте также про многоликий овал Кассини
- TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
