Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня достаточно сложный материал, особенно для тех, кто давненько не сталкивался с интегралами. Впрочем, я постараюсь настолько, насколько это возможно, показать Вам совершенно удивительную дорожку к натуральным числам, проявляющуюся в хитросплетениях бесконечности, интеграла и числа Эйлера. Позвольте представить, интеграл Эрмита:
В данном интеграле k — это некое число, и что-то подсказывает, что результат вычисления этого интеграла будет с ним связан (да еще как!!!). Чтобы вычислить такой интеграл необходимо применить формулу интегрирования по частям:
Очень важным моментом будет выбор переменных. Сделаем его таким образом, чтобы при взятии производной показатель степени k уменьшился. Смотрите:
Забыл дописать dx в первой строчке
Таким образом наш интеграл разбивается на два слагаемых. Давайте разберемся с первым: для этого нам понадобится просто подставить вместо x пределы интегрирования:
Мы применили k раз правило Лопиталя для раскрытия неопределенности бесконечность/бесконечность
Первое слагаемое, как стало понятно, равно 0. Что делать со вторым? Ключевая идея в том, чтобы продолжать интегрирование по частям. Функция имеет похожий вид на исходную, значит порождаемые её первые слагаемые вида u*v всегда будут равны 0.
Второе же слагаемое при интегрировании k раз вырождается в произведение факториала числа K и еще одного интеграла, теперь уже табличного:
Вы понимаете, страшный интеграл, в котором и намека нет на "красивый" целый ответ вообще оказывается равным натуральному числу! Однако, тот самый шокирующий вывод, переворачивающий школьную математику, произойдет, если мы вспомним, что интеграл — это площадь ограниченная кривой (в данном случае x^k*e^(-x)) и пределов интегрирования (от 0 до бесконечности).
Так что же нам мешает взять k не целым числом, а, например, рациональным??? А ничего, ведь площадь под графиком — она и в Африке площадь, а, значит, мы только что получили расширение понятия факториала на все числа, в т.ч. комплексные и подобрались к одному из ключевых понятий математического анализа — гамма-функции.
Шарль Эрмит — крупнейший французский математик второй половины 19 века. Источник: https://famous-mathematicians.com/images/charles-hermite.jpg
Кроме того, этот интеграл используется в крайне красивом доказательстве трансцендентности числа Эйлера, о котором я расскажу позже, если Вам нравятся такие материалы. Спасибо за внимание!
Читайте также:
- Что такое трансцендентные числа ?
- Самый важный из интегралов
- TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
