Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам про замечательный способ нахождения чисел Фибоначчи. Конечно. самый простой из них — это воспользоваться определением и искать попарные суммы ряда чисел: 1, 1, 1+1 = 2, 1+2 = 3, 2+3 = 5, 3+5 = 8, 5 + 8 = 13 и т.д.
Источник: https://i.pinimg.com/originals/8a/a4/df/8aa4df3bfc3cafefa41692941f0d6733.jpg
Но мы не будем искать легких путей и рассмотрим такое уравнение:
Заметим "рекурсивный" характер этого уравнения, на основании которого и напрашивается показанная выше замена переменной. Решаем полученное квадратное уравнение и получаем знаменитое число Фидия — золотое сечение:
Как известно, золотое сечение напрямую связано с числами Фибоначчи. В пределе отношение n+1-го к n-ному члену последовательности стремится к числу Фидия.
Заметим, что правая часть уравнения выше является цепной дробью. Из курса теории чисел известно, что каждое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (вполне возможно, что бесконечной). Элементы этой дроби называются подходящими:
Теперь давайте попробуем вычислить подходящие дроби для найденного нами представления числа Фидия:
В первой строке представлена удобная форма записи непрерывных дробей без использования многоэтажных конструкций
Удивительно, что все подходящие дроби целиком состоят из чисел Фибоначчи! Конечно, это немного искусственный результат, но от этого не менее занимательный. Спасибо за внимание!
