Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Хочу продолжить старую тему, касающуюся математических парадоксах. Сегодня обратимся к еще одному знаковому парадоксу теории множеств, имеющему достаточно простую формулировку — парадоксу Ришара. Поехали!
Источник: https://stihi.ru/pics/2018/10/27/3764.jpg
Итак, для начала нам понадобятся все буквы русского алфавита. 33 русские буквы необходимо расположить во всех возможных комбинациях: по двое, трое, четверо и вообще, как угодно. Например:
- аб, вг, де, жз . . . . .
- абв, укх, ерп . . . . .
- укпр, вапк, фыва, апе5 . . . . и т.д.
Кроме того, добавив в русский алфавит знак "пробела", мы можем уже формировать словосочетания и предложения, например : аб ук еу, ыаы пау спаы, свауцп и т.д. Таким образом из русского алфавита и знака пробела мы можем получить ЛЮБОЙ набор слов.
Что за бессмыслица
А теперь поговорим о числах. Допустим, число тридцать четыре — это не что иное, как одна из бесконечных комбинаций, которую можно построить, используя русский алфавит.
Сделаем вот что: из бесконечного набора комбинаций вычеркнем те, которые НЕ являются словесными определениями действительных чисел и пронумеруем оставшиеся.
Например, так. Слева и справа наборы из двух, пяти и т.д. знаков (знак может быть и пробелом). Более того, действительные числа включают в себя еще и рациональные дроби, и иррациональные и трансцендентные числа. Вычеркнули те комбинации, которые нельзя отождествить с числом.
Ожидаемо, мы получим бесконечное (но счетное!) множество Е, в котором содержатся ВСЕ возможные буквенные комбинации, определяющие ВСЕ действительные числа, которые вообще можно описать русскими буквами.
Казалось бы
, наше перечисление окончательное, но не тут-то было. Французский математик Жюль Ришар показал способ построения такого определения числа из набора букв, которое не относится к итоговому множеству E.
Ну что еще можно придумать, русских букв же больше нет? Можно даже взять за определение чисел конструкции вида "расстояние до Солнца", "длина экватора", "рост Путина", "второй замечательный предел при эн стремящемся к бесконечности" — это тоже определение числа и т.д.
Ришар определяет "некое" (неважно какое) число фразой : пусть p — это n-ный десятичный знак n-ного числа полученного множества E; образуем число с нулем в целой части, и в n-ном десятичном знаке — p+1, если p не равно ни восьми, ни девяти, — и единицу в противном случае.
Число, которое таким образом можно получить обладает удивительным свойством:
- во-первых, оно определяется конечным набором знаков алфавита, т.е. входит в множество E (Ришар описал определение конечным числом слов) и букв;
- во-вторых, оно не относится к этому множеству, потому что способ его построения и нумерации определяет, что n-ное число этого множества должно иметь на n-ном месте число p, а не p+1 (вернитесь в начало фразы Ришара, "обращение на себя");
- получаем противоречие, ведь ранее мы предположили, что множество Е содержит ВСЕ определения чисел.
Источник: https://cdn.telegram-site.com/images/1/1/2/1/7/7/6/5/4/7/d3f83b4ced24c6f04e6f268a7c31ca7d.jpg
"Разгадка" парадокса Ришара состоит в том, что он, во-первых, использует древний логическую ситуацию, когда суждение оборачивается на самого себя (самореферентность, парадокс брадобрея и т.д.), а во-вторых не учитывает, что между бесконечными счетными и бесконечными несчетными множествами есть огромная разница.
