Продолжаю рассказывать про замечательные геометрические фигуры (топологические конструкции скоро будут тоже!).
До 17 века астрономы были уверены и непоколебимы в позиции насчет формы орбиты планет: окружность и только окружность, как нечто совершенное и данное богами. Но вот на сцену вышел Иоганн Кеплер со своим Первым законом движения планет и заявил (еретик!), что они должны двигаться по эллиптическим траекториям.
Джованни Кассини (8 июня 1625 — 14 сентября 1712). Источник: https://www.thefamouspeople.com/profiles/images/giovanni-domenico-cassini-1.jpg
Впрочем, были и другие позиции. Одной из них придерживался итальянский астроном Джовани Кассини. Свою версию мироздания он решил описать с помощью фигуры, которая будет названа в его честь. Поехали!
Поиграем с эллипсом
Чтобы понять, что такое овал Кассини, необходимо вспомнить, что такое эллипс. Итак, "эллипс — это плоская фигура, у которой для каждой точки сумма расстояний от двух фиксированных точек (полюсов) постоянна".
Сумма расстояний от точки Т на эллипсе до фокусов F1 и F2 — величина постоянная. а и b — большая и малая полуоси эллипса. Изменяя их соотношение, можно из эллипса получить как прямую линию (увеличиваем бесконечно одну из полуосей), так и окружность (приравняем полуоси). Источник: http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2003/ura/anja/elipsa/elipsa2.jpg
Как и многие замечательные научные открытия, всё началось с "а что, если…?". Действительно, а что если не рассмотреть фигуру, у которой постоянно произведение расстояний до фокусов?
Одна из форм овала Кассини. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Cassini-k-def0.svg/1200px-Cassini-k-def0.svg.png
Полученные результаты оказались удивительны! Оказывается, фигура, определенная таким образом (явное уравнение приводить не буду), имеет аж 6 (!!!) состояний:
- две точки, отделенные друг от друга (а = 0, с — не равно 0);
- два отдельных овала (0 < a < c);
- лемниската Бернулли (a=c) (иронично, но сам Бернулли начал изучать эту фигуру через 14 лет после открытия Кассини);
- кривая вогнутой перемычкой (c < a < c√2);
- овал (а > c√2);
- окружность (c = 0, а — не равно 0).
Все этапы этого зверинца удобно наблюдать в анимации:
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Animated_Line_of_Cassini.gif
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/92/Animated_Line_of_Cassini_2.gif
Как легко можно увидеть, в какой-то момент овалы Кассини практически не отличимы от кеплеровских эллипсов. Так всё-таки, по какой орбите перемещаются планеты?
Но в космос можно не лететь, ведь овалы Кассини может получить каждый из Вас, если возьмет в руки обычный бублик (в математике — тор) и нож. Делая параллельные надрезы на разном расстояний от отверстия можно получить овалы Кассини трех видов:
Овал Кассини с перемычкой, лемниската Бернулли, два овала/окружности, смотря, какой тор
Овалы Кассини находят своё применение и военной сфере. Например, бистатические РЛС (двухпозиционные) имеют поле обнаружения, определяемое именно таким образом.
Источник: https://i2.wp.com/militaryarticle.ru/images/2014/6/137824.jpg
Вот такая замечательная кривая была открыта итальянским астрономом. Да что кривая! Именем Кассини называны кратеры на Луне и Марсе, промежутки в кольцах Сатурна, астероид и космический аппарат. Впрочем, это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!
