Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Доброго времени суток, уважаемые Читатели! Тема школьной математики на моём канале началась еще в далеком апреле с публикации о теореме Виета, а недавно продолжилась логарифмами. Сегодня же речь пойдет о куда более простом, но не менее важном понятии — модуле числа. Поехали!
Определение
Модулем или абсолютной величиной числа x называется расстояние от начала отсчета до точки координатной плоскости, соответствующей этому числу. Модуль числа обозначается |x|.
Впервые это понятие ввел учение Ньютона Роджер Котс, а современное обозначение — Карл Вейерштрасс в 1841 году.
Исходя из определения, можно заключить, что модуль любого числа — есть величина неотрицательная (расстояние же не может быть меньше нуля!). Другие свойства модуля проще всего запомнить, используя его геометрическую интерпретацию
Модули вещественных чисел
Если Вы забыли, что такое вещественные числа — призываю прочитать этот материал.
На представленном рисунке |A| = 9, |B|=4 |D|=4 |E|=6,5
Итак модуль определен для всех вещественных чисел, куда входят натуральные, целые, рациональные, иррациональные и трансцендентные числа. Т.к. модуль неотрицателен, для него верны следующие утверждения:
Функция sgn(x) возвращает знак x. Если x<0, sgn(x)=-1, x>0, sgn(x)=1, x=0, sgn(x)=0
Дополнительно модуль можно определить как кусочно-заданную функцию вида:
Из графика видно, что функция |x| — четная. Так же эта функция имеет дифференциал во всех точках кроме 0, в которой имеет излом.
Модуль комплексного числа
Напомню, что комплексные числа — это числа вида Z=x+iy, где i — мнимая единица, а x,y — вещественные числа. Исходя из геометрического представления комплексного числа, его модуль определяется следующим образом:
Используем теорему Пифагора. Re — действительная, Im — мнимая оси.
Модуль и норма
Понятие "норма" — это результат обобщения понятия модуля и абсолютной величины на случай векторного пространства (в нём есть векторы и скаляры — числа, которые подчиняются восьми аксиомам), частным случаем которого, например, является трехмерное Эвклидово. Норма — это некое отображение (читайте про это понятие), переводящее точку векторного пространства в числовую ось и удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам):
V — векторное пространство
Оказывается, что модуль лучше всего подходит, чтобы быть нормой векторного пространства, ведь для него по определению выполняются указанные выше аксиомы. В трехмерном Эвклидовом пространстве вместо нормы вектора также употребляют понятие "длина".
Координаты вектора ОА равные (x,y,z)
Как работает "отображение"? Представьте, что на рисунке выше вектор ОА имеет координаты (2,3,-1), тогда длина (норма) этого вектора равна √ ((2^2)+(3^2)+(-1)^2) = √ 14. Таким образом, вычислив норму вектора, мы однозначно сопоставили точку векторного пространства некой числовой величине, что и является отображением.
Источник: https://businesslike.ru/wp-content/uploads/2017/09/foto-krizis-jizni.jpg
Понравилось? А знаете, как теорема Байеса может буквально перевернуть Вашу логику с ног на голову ?
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM. Также есть группы в VK,Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Второй проект — канал "Русский язык не для всех".
