Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать про задачку о необычном числе, которое представляет собой десятичную дробь, в которой после запятой перечислены все натуральные числа одно за одним. Ответить необходимо всего лишь на один вопрос: является ли данное число рациональным? Поехали!
То есть, можно ли его представить в виде обыкновенной дроби с целым числителем и натуральным знаменателем? Для решения этой задачи необходимо обратиться к свойству, которое утверждает, что каждая рациональная дробь представима в виде периодической десятичной дроби, и наоборот. В самом деле:
Используем всеми любимый метод доказательства от противного: предположим, что наша дробь рациональна, а значит в ней в какой-то момент должна образоваться зацикленная последовательность:
Конечно, интуитивно уже сейчас становится понятным, что посылка доказательства не является верной, ведь какой бы длины не взять n, для каждого случая можно найти несовпадения. Допустим, для произвольной длины периода n, начиная с некоторого числа k среди чисел k, k+1, k+2, k+3 будет так:
Как бы мы не старались, найти период в этой дроби не получится, но, с другой стороны, это — пока лишь оценочное суждение, требующее доказательства.
Для этого провернем вот-что: раз наша дробь бесконечна, то когда-нибудь в ней встретится такое число, в котором будет в два раза больше нулей, чем количество цифр в периоде дроби:
А теперь самая красивая часть доказательства: если мы попробуем "вклиниться" в это число с периодом n, то в любом случае получим период, состоящий из n нулей:
Разным цветом — варианты "вклиниться" в число
Теперь у нас получаются "кортежи" в n нулей, идущих подряд. Но, тогда наша исходная дробь с некоторого момента должна записываться так:
Но такого быть не может, т.к. мы выписываем все натуральные числа подряд, а среди них бесконечности нулей быть не может. Значит, наше предположение неверно, а дробь 0,12345678910.. является иррациональной. Спасибо за внимание!
Источник: https://its-life.ru/wp-content/uploads/2018/04/numeralogiya.jpg
Читайте также:
- Самый важный среди интегралов
- Математическая константа, в которой зашифрованы все простые числа.
- TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
