Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам еще об одном интересном виде чисел, называемых неприкасаемыми. Первое упоминание о них содержится в трудах арабского математика Абу Мансура аль-Багдади, жившего в начале 11 века н.э.. Впрочем, им была замечена неприкосновенность всего лишь двух чисел: 2 и 5. Поехали!
Аликвотные дроби впервые использовали в древнем Египте. Они представляли собой исключительно дроби вида 1/n. Источник: http://www.runasimi.net/imgF/tombOfSennefer-1.jpg
Первое, с чем надо познакомиться, — это понятие аликвотной суммы для числа N (функции дивизоров), которая равняется сумме всех его делителей. Вот пример для понимания:
Аликвотная сумма сильно "прыгает" как только встречает на своём пути простые числа
Оказывается, что существуют числа, которые никогда не смогут появиться в третьей строке нашей таблицы, т.е. они сами не могут быть аликвотной суммой никакого числа. Такие числа и называются неприкосновенными. Список таких чисел содержится в последовательности А005114:
2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324…
Обратите внимание, что все числа в списке четные, и этому есть простое объяснение. Согласно бинарной проблеме Гольдбаха (еще не решенной, но показанной для огромных чисел) каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых p и q. Таким образом, любое нечетное число можно представить в виде p+q+1, что сразу же выбрасывает его из класса неприкасаемых. Число 5 оказывается единственным нечетным представителем этого класса.
РАспределение остатков для неприкасаемых чисел до 10000. Например, 43456 неприкасаемых чисел делятся на 8, а 38019 дают при делении остаток 6.
Как часто встречаются такие числа? Эрдешом доказано, что их бесконечное количество, а асимптотическая плотность (частота встречаемости в бесконечно длинном ряду натуральных чисел) равна 0,06 + o(x) (ссылка на статью). Спасибо за внимание!
- Читайте про задачу с американского ЕГЭ, которую рекомендуют решать только на калькуляторе .
- TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
