Нереальный «парадокс» дней рождения – совсем не парадокс

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK,Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Тема различных парадоксов часто поднималась мною на этом канале. Я уже рассказывал и про парадокс маляра, и про парадокс бесконечного отеля и о многом-многом другом. Сегодня же речь пойдет об одном из самых известных «парадоксов», который, на самом деле, таковым не является. Поехали!

Итак, чаще всего «парадокс» формулируют следующим образом:

Если взять группу из более чем 23 человек, то вероятность совпадения дней рождения у хотя бы двух человек больше 50% !

У людей, не сильно, знакомых с математикой сразу же возникает отторжение: "Постойте, но дней в году 365, а людей 23, откуда 50 %. Это невозможно!"

Но здесь важно не количество людей, а количество ПАР людей, которых по одной известной формуле сочетаний будет 253 пары!

Источник: https://youqueen.com/wp-content/uploads/2016/10/cover-photo.jpg

  • Будем размышлять таким образом: если людей больше, чем 365, то по принципу Дирихле, вероятность того, что даты всех дней рождения будут различными равна 0 (о принципе Дирихле можно прочитать по ссылке в конце материала).
  • Если людей меньше или равно, чем 365, то возьмем наугад человека, запомнив его дату рождения. Затем возьмем второго и сравним его дату с запомненной ранее, третьего, четвертого и т.д. Получим вот такие вероятности:

Вот так выглядит график этой функции:

Как видно из графика, при n=23, вероятность равна 50%

А теперь посмотрим, на немного другую задачу:

«Какова вероятность того, что день рождения человека, не принадлежащего группе (возьмем случайного прохожего и спросим его дату рождения), совпадет с днем рождения человека из группы в n человек?»

Рассуждения те же, но конечная формула и график совсем другие:

Для 23 человек, вероятность чуть больше 6 %

А вот здесь для 50% процентов необходимо как раз-таки те 253 пары, о которых мы говорили в начале статьи! Так происходит потому, что у некоторых членов группы дни рождения могут совпадать, что уменьшает общий результат.

«Парадокс» дней рождения находит применение в криптологии и даже в оценке популяций рыб в водоемах. Для этого ученые ловят и выпускают рыбу, каждый раз помечая её. После того, как будет поймана первая рыба с уже полученной ранее отметкой, можно грубо оценить её общее количество.

Спасибо, вот обещанная ссылка на материал о принципе Дирихле!

ССЫЛКА НА TELEGRAM и ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО КАНАЛУ

Второй проект канал "Русский язык не для всех".

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: