Одно из самых известных чисел в математике, о котором Вы даже и не знали

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Какие самые известные числа из мира математики приходят Вам на ум спустя длительное время после окончания обучения? Наверное, каждый из Вас вспомнит число Пи, у кого-то всплывет в памяти число Эйлера, некоторым придет в голову золотое сечение.

Лоренцо Маскерони. Источник: https://sun9-37.userapi.com/c857332/v857332454/1155f8/SBbtMlxG4vc.jpg

Однако, постоянную, о которой я хочу сегодня рассказать, навряд ли узнает не математик, несмотря на то, что по количеству употреблений она не сильно отстает от вышеперечисленных. Речь пойдет о постоянной Эйлера-Маскерони, очень простой в нахождении, но до сих пор таящей в себе загадки. Поехали!

Давайте повторим путь, который прошел Леонард Эйлер для нахождения этой постоянной.

Частичные суммы гармонического ряда

Рассмотрим гармонический ряд, который уже неоднократно встречался на моем канале, например, в задаче о бессмертном муравье. Известно, что этот ряд расходящийся, т.е. его сумма хоть очень медленно, но неограниченно растет.

Площадь синей области сходится к постоянной Эйлера-Маскерони

Неограниченный рост — это хорошо, но его невозможно пощупать. А что, если попытаться ограничить хотя бы его частичные значения некой функцией, например, логарифмом.

Чем больше будет порядок n частичной суммы, тем разность её с логарифмом n будет ближе и ближе к некой константе. Сам Эйлер вычислил её первые 16 знаков, а Лоренцо Маскерони — 32, хотя и допустил несколько ошибок в вычислении. На данный момент количество верно вычисленных знаков равно чуть больше 600 миллионов.

Чтобы Вы понимали, какой нетривиальной была эта задача для 18 века, я вычислил значение суммы гармонического ряда до 100. Её значение — 5,18737751136796. Если вычесть из этого числа Ln(100), то получим 0,582 — т.е. только первый знак правильно определен. Впрочем, уже при n=1000, верно определяются первые четыре знака.

В каких задах появляется постоянная Эйлера-Маскерони ?

  • Удивительно, но постоянная Эйлера-Максерони тесно связана с простыми числами. Например, она описывает разрывы между простыми числами.
  • Постоянная равна первой производной гамма-функции, взятой со знаком минус. Сама же Гамма-функция используется в таких областях как атомная физика, гидродинамика, экономика и сейсмология. Эта функция, также придуманная Эйлером, позволяет расширить применение факториала на вещественные и комплексные числа.

График гамма-функции. Подробно расскажу о неё позже. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/44/Gamma_abs.png?1553415433039

  • в диаграммах Фейнмана, описывающих поведение субатомных частиц.

Последнее — самое удивительное. Получается, что постоянная Эйлера-Маскерони может быть мостиком внутри нашего мироздания: связывать простые числа и частицы, из которых состоит материя!

Загадка постоянной Эйлера-Маскерони в том, что мы ничего о ней не знаем, кроме факта существования. Например, неизвестно, является ли она рациональным числом и показано, что таковым она будет являться, если знаменатель больше, чем 10^244663, что и современным компьютерам не под силу.

Повсеместность появления постоянной Эйлера-Маскерони делает её числовую природу одним из главных открытых вопросов в математике.. В последнее 10 лет большинство ученых склоняются к её трансцендентности.

Читайте также:

  • Самый важный среди интегралов
  • Математическая константа, в которой зашифрованы все простые числа.
  • TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое .
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: