Поиски адекватных формул распределения простых чисел — одно из важнейших направлений теоретической математики, таящее в себе множество подводных камней. Чего только стоит удивительное число Скьюза, которое научит Вас никогда не верить недоказанным тенденциям и закономерностям, как бы убедительными они не звучали.
Жозеф Луи Франсуа Бертран (11 марта 1822, Париж — 5 апреля 1900). Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/Bertrand.jpg
Сегодня я хочу рассказать про удивительно простое, но в то же время, фундаментальное утверждение, которое сформулировал француз Жозеф Луи Франсуа Бертран, а доказал один из величайших русских математиков Пафнутий Чебышев.
Итак, постулат Бертрана гласит, что:
Бертран путем непосредственных вычислений проверил свой постулат до 3 000 000
Между каждыми х и 2х найдется всегда простое число, вот так новость! Однако, сам Бертран так и не смог его доказать, хотя и использовал в своей работе, назвав его постулатом.
Пафнутий Чебышев (4 мая 1821 – 26 ноября 1894). Источник: http://cepulib.ru/images/thanks/chebishev/chebishev.jpg
Русский математик Чебышев — один из важнейших игроков на поле простых чисел, доказавший множество занимательных утверждений и давший одни из самых точных оценок распределения простых чисел. Не удивительно, что именно он превратил поставил точку над "i" в постулате Бертрана.
Гениальность русского ученого в том, что он использовал для доказательства теоремы, связанной с простыми числами, десятичные логарифмы!
Оценке функции распределения простых чисел π(x) посвящено множество работ. Одну из наиболее прорывных оценок количества простых чисел, не превосходящих данного, дал Пафнутий Чебышев.
Гипотеза Бертрана эквивалентна тому факту, что π(2x) > π(x).
Чебышев понял, что нужно уйти от непосредственного подсчета, введя искусственную функцию, еще более "сильно прыгающую" при переходе между простыми числами, чем приведенная выше функция π(x).
Такая функция в математике стала называться θ-функцией ("тета-функцией") Чебышева:
Она равняется сумме логарифмов простых чисел, не превосходящих данное число. Чтобы понять, почему она сильнее прыгает, чем π(x), просто посчитаем:
В то время, как для π(x) разница равна 3
С увеличением х разница все больше и больше увеличивается. Математическая интуиция в этот момент подсказала Чебышеву, что, возможно, удастся применить один из классических вариантов доказательства теорем, касающихся бесконечных последовательной чисел.
- Суть этого метода заключается, в том, чтобы доказать утверждение для всех чисел больше х, при чем х должно быть такое, чтобы все числа, меньшие его, можно было бы проверить перебором.
В нашем случае Пафнутий Львович с помощью тета-функции обосновал постулат Бертрана для чисел, больших 160, что, как понимаете, уже было достаточно для оформления доказательства.
В дальнейшем, постулат Бертрана множество раз "усиливался" даже в нашем тысячелетии, причем некоторые из выражений кажутся совсем искусственными, например:
Позвольте, проверять правильность не буду
Впрочем, на этом проблемы поиска интервалов с простыми числами далеко не закончены. Например ничего не известно об истинности гипотезы Лежандра, которая предполагает, что между n^2 и (n+1)^2 всегда имеется хотя бы одно простое число. Но это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!
Читайте также:
- Что такое расстояние?
- Как решить уравнение, у которого нет решений ?
- TELEGRAM ,VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
