Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу поговорить об одном замечательном математическом утверждении, которое буквально называется "Задача со счастливым концом". Её формулировка достаточно тривиальна, но, как часто бывает, некоторые следствия из неё современными математиками так и не доказаны. Поехали!
Источник: https://pbs.twimg.com/media/Dt7nLmcWkAEwTRI.jpg
Суть задачи
В задаче формулируется утверждение, "что любое множество из пяти точек, находящихся в общем положении (т.е. никакие три не лежат на одной прямой) имеет подмножество из четырех точек, которые составляют вершины выпуклого четырехугольника".
Источник: https://cf.ppt-online.org/files/slide/n/nmPMbt0WK8aNkYRLvVJSAwx34gTeHlpGjhf2d5/slide-3.jpg
Прежде всего, напомню, что "выпуклость" — это свойство расположения вершин n-угольника, при котором он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону. Звучит запутано, но выглядит на пальцах вот так:
Если продолжить любую сторону четырехугольника (лучи Ах и Аy), который на рисунке слева, мы получим, что все остальные его вершины лежат с одной стороны от этого луча. На рисунке справа же, луч Rz делит четырехугольник так, что по ОБЕ стороны от луча есть вершины. Таким образом, слева — выпуклый, а справа — невыпуклый четырехугольник. Вернемся, впрочем, к задаче.
Кстати, название "задача со счастливым концом" было дано Палом Эрдёшем, поскольку частичное решение задачи закончилось свадьбой венгерских математиков Дьёрдя Секереша и Эстер Секерес.
Простое доказательство
Не углубляясь в формулы, задачу со счастливым концом можно решить достаточно просто. Пять точек в общем положении на плоскости могут быть расположены двумя способами: либо образовывая выпуклую оболочку (см. рисунок), либо в виде трех точек, образующих треугольник и двух точек внутри этого треугольника:
"Выпуклая оболочка"значит, что точки можно стянуть невидимым лассо, окружающим ВСЕ точки, но касающейся только некоторых.
В первом случае случае всегда можно построить выпуклый четырехугольник, состоящий из точек выпуклой оболочки. Во втором случае, прямая, проходящая через две внутренние точки в любом случае не пересекает одну из сторон треугольника, а, следовательно, с точками, образующими другую сторону можно построить выпуклый четырехугольник.
Но если задача задача 5(4) решается достаточно просто, то задача с произвольным количеством точек и углов до сих пор не имеет окончательного решения.
Пример 8-ми точек, для которых нельзя построить выпуклый пятиугольник. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/8-points-no-pentagon.svg/440px-8-points-no-pentagon.svg.png
Известно лишь решение задачи для 9 точек и пятиугольника, а также 17 точек и шестиугольника. Для 7-ми и большего количества углов эта простая, на первый взгляд, задача пока не имеет решения кроме некоторых оценочных выводов! Спасибо за внимание!
P.S. Искренне обожаю такие тривиальные задачи, которые оказываются настолько глубокими, что над ними бьются десятки и сотни лет. Математика завораживает!
