Открытое множество. Вы еще не знаете, насколько фундаментально это понятие

Теория множеств — это фундамент математики. Её основы дают еще в школе, да и я останавливался уже на самых простых определениях (цикл статей с самых азов)

  • Настоятельно рекомендую ознакомиться прошлым материалом из этого направления, в котором я рассказывал, что понимается под "шаром" в математике.

Определение открытого множества выходит за рамки школьной программы просто потому, что его там негде применять, особенно сейчас, когда школьное математическое образование заточено под узкоспециализированную задачу сдачи ЕГЭ. Тем не менее, в этом понятии нет ничего сложного, в чём я и призываю Вас убедиться. Поехали!

Источник: http://fototelegraf.ru/wp-content/uploads/2011/06/arkticheskaya-stancyja-3-13.jpg

Итак, открытым множеством А называется такое множество, любая точка которого содержится в некотором шаре. На языке кванторов это описывается так:

Читается: для любой точки х, принадлежащей множеству А, существует такое положительное число r, что шар радиусом r с центром в точке х принадлежит А. Иными словами, мы перебираем все точки множества, и если в каждой из них нам удается "нарисовать" шар (подобрать радиус)

, все точки которого принадлежат множеству А, то объявляем такое множество А открытым.

Напротив, если мы находим хотя бы одну точку, в которой нельзя подобрать радиус так, чтобы шар включал только точки множества А, множество считается не открытым. Посмотрите на примеры:

Для квадрата, находящегося на плоскости (в метрическом пространстве), который не включает границы, мы можем взять любую внутреннюю точку, измерить два расстояния до сторон квадрата, а затем взять в качестве радиуса шара минимальное, деленное пополам.

Замечательно, что как бы точка х не была близка к стороне квадрата, мы всегда можем выполнить такое построение.

А вот совсем другой пример нас ждет, если включить границы квадрата в рассматриваемое множество:

В таком случае мы легко предъявляем бесконечное число точек, в которых шар построить невозможно: все они находятся на границе квадрата.

Важно отметить, что открытость множества зависит от того, в каком пространстве это множество рассматривается. Например, если ограничить ВСЁ пространство самим квадратом с границей (т.е. больше ничего не существует во Вселенной), то он уже будет открытым множеством.

Действительно, даже взяв точку на границе такого квадрата и выбрав любой радиус, мы получим шар, все точки которого принадлежат квадрату. Т.е. по определению такой квадрат будет считаться открытым множеством. Вот такие тонкости.

Конечно, открытые множества существуют и в отличных от плоскости метрических пространствах, например, на вещественной прямой:

  • В первом случае открытый интервал — по определению шар, а каждый шар сам является открытым множеством (строго говоря, это доказывается).
  • Во втором случае, мы как с квадратом всегда можем выбрать такой радиус. что в шаре будут содержаться только точки открытого луча.
  • Аналогично с квадратом с границей, в третьем случае мы можем предъявить две точки, в которых построение невыполнимо.

Кроме того, открытыми множествами является сама вещественная прямая и даже пустое множество. Однако, отдельная точка на прямой {a} — не открытое множество, т.к. не существует шара (радиус больше 0!) с центром в этой точке, удовлетворяющему определению открытости.

Зачем всё это надо? Заметьте, что в своих умозаключениях мы не задавались конкретным радиусом шара, нам просто было нужно, чтобы он существовал. Этот переход удивителен, но позволяет через открытые множества перейти к еще более фундаментальному понятию, к священному Граалю математики — топологическому пространству, в котором расстояния уже не важны, а фигуры сплетаются в невообразимых танцах, нарушая все привычные нам законы. Но это уже совсем другая история.

Читайте статьи из цикла "Основы математического мироздания":

  • Аксиома непрерывности
  • Что такое порядок ?
  • Понятие фактормножества
  • Дедекиндово сечение
  • Какой бывает бесконечность ?

TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: