Отношение эквивалентности: определение, примеры

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам, что такое эквивалентность. Понятие точно Вам знакомо на бытовом уровне, однако в математике оно имеет особенный и строгий смысл, который позволит Вам по иному взглянуть на вещи. Уверяю, для каждого из Вас это будет простым материалом. Предлагаю Вам прочувствовать красоту математических суждений вместе со мной. Поехали!

Источник: https://stihi.ru/pics/2019/09/04/6435.jpg

Объяснение максимально подробное, поэтому может показаться затянутым. Однако, в конце Вас ждет хороший жизненный пример!

Эквивалентный — "равноценный, равнозначный, равносильный, находящийся в равных отношениях". Именно так переводится это понятие в основных толковых словарях. Однако, в математике этого недостаточно. Мы хоть и любим эфемерную бесконечность, но к понятиям "жизненным" подходим со строгим инструментарием.

Вот и в данном случае, чтобы понять, что такое эквивалентность в математике, необходимо разобраться со словом "отношение", которое в теории множеств имеет конкретный смысл.

Говорят, что на множестве А задано отношение R, если про каждую пару элементов а и b множества А можно сказать:

"a R b" — верно или "a R b" — неверно.

Под символом R, строго говоря, может скрываться всё, что угодно. Самое известное каждому со школы — это строгое отношение порядка, которое обозначается "<" или ">". Как мы его применяем?

Например, на множестве натуральных чисел {1,2,3,4…} уже для каждой пары (1,2), (2,4) известно, истинно или нет утверждение "1<2" или "2<4", т.е. задано отношение порядка

А что, хороший пример отношений на множестве. Источник: https://s.fishki.net/upload/users/2016/09/10/551536/71657654564f12d5a7eb43a9af42d3a9.jpg

Какие отношения бывают еще ? Например, отношение равенства, отношение параллельности, конгруэнтности, отношение равенства остатков от деления на n и т.д, отношение дружбы, отцовства, брака и т.д.. Несмотря на такой разброс, каждое отношение можно формальным образом охарактеризовать, проанализировав его свойства:

1. Рефлексивность. Если "a R a" верно для всех a, то отношение R — рефлексивное. Первый пример: "а>a" — неверно, значит строгое отношение порядка — не рефлексивное. Второй пример: в геометрии считается, что каждая прямая параллельна самой себе, т.е. "a II a" — верно, а значит параллельность — рефлексивное отношение.

Источник: https://www.meme-arsenal.com/memes/3e07b83e13f795a694827920dcb1598f.jpg

2. Симметричность. Если "a R b" — верно, то и "b R a" — тоже верно. Первый пример: из "a<b", не следует, что "b<a" , значит строгое отношение порядка не симметрично. Второй пример: из того, что "a = b" следует, что "b=a", значит отношение равенства — симметрично.

3. Транзитивность. Если "a R b" и "b R c", то "a R c" — верно. Первый пример: отношение отцовства (не смущайтесь примеру, я же говорил, что может быть что угодно, в этом и прелесть). Из того, что "а ОТЕЦ b" и "b ОТЕЦ с" не следует, что "a ОТЕЦ c". Второй пример: отношение родства: из того, что "а РОДСТВЕННИК b" и "b РОДСТВЕННИК с" следует, что "a РОДСТВЕННИК c", а значит такое отношение транзитивно. Кстати, в общем случае а,b и c могут быть одними и теми же элементами.

На этом классификация не заканчивается, но мы уже подошли к тому моменту, когда можем ввести понятие отношения эквивалентности.

Итак, если бинарное (между двумя элементами множества) отношение R рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности или просто эквивалентностью.

Примерами отношений эквивалентности могут служить "равенство", отношение подобия в геометрии (~), отношение параллельности прямых, сравнение по модулю и т.д. Пример для последнего:

То же самое легко проверяется для отношений равенства, подобия и т.д. В результате проверки могут появиться и другие отношения, например, толерантности (симметрия+рефлексия-транзитивность)

Что же значит эквивалентность в жизни? А, например, то что настоящая дружба — это отношение эквивалентности.

  1. Очевидно, что Вы дружны сами с собой, т.е. с рефлексией всё в порядке.
  2. Если у Вас есть друг, то хорошо бы, чтобы и Вы были его другом: симметричность тоже присутствует!
  3. Если Вы дружите с кем-то и он дружит с Вами (п.2), то из этого следует, что Вы дружите с собой (п.1) — транзитивность тоже в наличии!

Важнейшее свойство каждого отношения эквивалентности в том, что с помощью него можно построить фактормножество — усеченный вариант исходного множества, будто "склеенный" из похожих элементов. В ряде случаев на практике, например, в маркетинге, это оказывается чрезвычайно важным для разбиения аудитории на непересекающиеся классы со схожими интересами. Об этом поговорим в отдельном материале. Подписывайтесь на канал! Спасибо за внимание!

Читайте также

  • Парадокс интересных чисел в математике
  • TELEGRAM и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: