Парадокс лестницы

Давайте сразу начистоту — то, о чем я сейчас расскажу является чисто визуальным парадоксом. Аналогичные вещи, например, показаны на картинке, в которой доказывается, что число Пи равно 4. Видели такую?

Источник: https://cs10.pikabu.ru/post_img/2018/01/30/9/1517322019169330741.jpg

Примерно такая же ситуация у нас. Давайте нарисуем лестницу и вычислим её длину:

А что будет, если мы увеличим количество ступенек? Изменится ли их длина?

Очевидно, что нет. Кстати, это факт часто используется в геометрических задач в ЕГЭ, когда есть кривые линии с поворотами строго под 90 градусов.

А что будет, если мы будем неограниченно увеличивать количество ступенек. Интуитивно понятно, что шаг лестницы станет всё меньше и меньше. Тогда и получаем "необычную" ситуацию:

Конечно, это в корне неверно: ведь как бы мы не спрямляли лестницу, прямой линией, кроме как чисто визуально с учетом разрешающей способности глаза она не станет. Однако мне больше всего нравится более математическое объяснение. Помните, я рассказывал, что такое расстояние?

Источник: https://hsto.org/getpro/habr/post_images/2fe/f56/a43/2fef56a435d5423757d3519e28b31e94.png

Так вот, в первых двух случаях, измеряя длину лестницы мы фактически находимся в метрическом пространстве L1, где метрика определена немного другим образом (т.н. метрика городских кварталов), чем в привычном нам евклидовом пространстве, к которому мы переходим в пределе (т.е. спрямляя лестницу бесконечным числом ступенек).

Описанные мною рассуждения формально выглядят так:

Получается, что просто некорректно в какой-то момент брать и менять "правила игры" и рассчитывать расстояние по новой формуле. Спасибо за внимание! Жду Ваших мнений в комментариях!