Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня поговорим о, казалось бы, тривиальных вещах — арифметических основаниях математики. Действительно, мало кто в жизни задумывается, а почему после единицы в устном счете идет двойка, почему между 2 и 3 нет натуральных чисел, почему 5 больше 4 ?
А ведь все эти утверждения строятся на определенной аксиоматике, благодаря которой, мы считаем именно так, а не иначе. Эта аксиоматика разработана итальянским математиком Джузеппе Пеано. Поехали!
Источник: https://cs8.pikabu.ru/post_img/2016/12/21/9/og_og_1482333749241166908.jpg
Математики долгое время (до середины 19 века) не чувствовали острой необходимости в формализации определения натуральных чисел и арифметики. Грубо говоря, считалось за данность, что есть математические операции (+,-,*,/), на множестве натуральных чисел можно определить порядковые отношения (следования, больше, меньше).
Небольшое отступление: аксиоматика в любой науке должна сводиться к минимуму утверждений, набору самых простых правил и т.д.
Оказалось, что существующий базовый набор правил в математике — далеко не минимальный, и есть более элементарные факты, на которых может быть построена ВСЯ математика.
У Джузеппе Пеано получилось свести всю арифметику к 5 постулатам, вот они:
1. Единица является натуральным числом.
2. Число, которое следует за натуральным, само является натуральным.
Для формализации вводится функция следования S(x), которая сопоставляет натуральному числу следующее за ним число. Например, S(3) = 4
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом (т.о. 0 — не натуральное число, хотя бывают разные мнения).
Кстати, получается, что функция следования S(x) не может быть равна 1
4. Если натуральное число а следует непосредственно за числом b и непосредственно за числом с, то числа b и с равны.
Ключевой постулат, следствием которого является, например, что между 1 и 2 нет других натуральных чисел. В принципе, обратная ситуация вполне может быть.
В какой-то другой системе арифметики 3 следует после 2 и 2', а 2 и 2' следуют после 1 и 1'. Сложность бы возникла в определении отношения порядка: что больше 2 или 2', а насколько больше и т.д. ?
5. Аксиома индукции. Если какое-либо предположение доказано для 1, а потом из предположения, что оно верно для n следует, что оно верно и для следующего натурального числа, то предположение верно для всех натуральных чисел. У меня есть простой материал о математической индукции.
На основании этих 5 аксиом Пеано ввёл арифметические операции. Подробнее погорим о них в следующем материале, а заодно докажем, что в арифметике Пеано дважды два равно четыре.
Ставьте лайк и подписывайтесь! ! ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
Мой второй канал — "Экономика не для всех". Поднимаю теоретические вопросы экономики и рынков. Никаких быстрых способов заработка и "выгодных" кредитов. Только чистое знание!
