Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
В прошлой статье я рассказывал о вещественных числах, в исторической перспективе вопрос о существовании которых вырос из нерешаемой аппаратом рациональных чисел задачи: точном вычислении диагонали квадрата со стороной 1. Как все Вы прекрасно знаете, диагональ такого квадрата равна √2 — и это действительно удивительное число, ведь это самое первое иррациональное число (в этой статье я показал, как доказывается его иррациональность), которым, так или иначе, оперировали математики. Но кроме того, оно обладает рядом интересных свойств, связывающих его с другими математическими объектами. Об этом и поговорим. Поехали!
Постоянная Пифагора
Появлением числа √2 (иногда его называют постоянной Пифагора) мы обязаны пифагорейцам — древнегреческим ученым-математикам. Именно они задались вопросом о его существовании и доказательства иррациональности. Итак, напомню, чему равен √2 :
Знак именно приближенный, ведь десятичное представление бесконечно
Однако первыми начали вычислять √2 Вавилоняне, используя шестидесятеричную систему счисления (я, кстати, писал, как считать на пальцах до 60). Их самым лучшим результатом была такая формула:
(296) обозначает "296" в периоде — т.е. 1,41421296296296296 и т.д.
Как вычисляют √2 ?
Для этого существует Вавилоняне придумали следующий алгоритм:
Давайте посчитаем самостоятельно:
Как видите, алгоритм обеспечивал достаточно быструю сходимость, и уже на третьем шаге значение √2 было достаточно точным для любых вычислений того времени.
На данный момент √2 вычислен с точностью до 200 миллиардов знаков!
Свойства √2
Кроме диагонали квадрата со стороной 1, √2 хорошо знаком всем из тригонометрии (кстати, знаете как легко запомнить основные значения синуса и косинуса?):
√2 также появляется при построении серебряного сечения, но, наверное, самые красивые формулы, в которой он участвует выглядят так:
И еще одна с непрерывной периодической дробью:
Связь √2 определена и с фундаментальной константой π :
Ну и самое "практичное" применение: возьмите лист бумаги формата А4: его размеры равны 29,7 на 21 см, а их соотношение равно 1,41421! Наверное, стоит написать отдельный материал о том, почему лист А4 имеет именно такой размер.
**************************************************************************
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков!
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
