Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Вопросы бесконечности всегда вызывают живой интерес у аудитории моего канала. Сегодня я хочу рассказать Вам об удивительном, но простом геометрическом построении, известным еще в древней Греции, которое больше, чем через тысячу лет, стало предтечей исторического открытия Георга Кантора. Поехали!
Георг Кантор. Источник: https://mir-s3-cdn-cf.behance.net/project_modules/max_1200/8113529970481.5bceaf8160ae9.jpg
Итак, еще древнегреческим геометрам было известно следующее занимательное построение:
Поясню: берем два отрезка AB и СD, через их концы проводим две прямые и отмечаем точку их пересечения E. Теперь мы можем провести целое семейство прямых из этой точки, которые пересекают два исходных отрезка в точках 1-3 (1'-3'). Древние греки сделали такой вывод: каждой точке отрезка AB сопоставляется точка отрезка CD.
Уже позднее, с развитием теории множеств, скажут, что древние греки построили биекцию (взаимно-однозначное соответствие) двух отрезков, что позволяет говорить об их равномощности. Иначе говоря, бесконечное количество точек в одном отрезке равно количеству точек в другом отрезке, несмотря на их разные размеры.
Великий Георг Кантор пошел дальше. Он доказал пародоксальное, казалось бы, утверждение: "в отрезке столько же точек, как и в квадрате". Вот как он это сделал:
Кантор взял произвольную точку квадрата с координатами
(0,x1x2x3x4….; 0,y1y2y3y4…..),
где под x и y понимаются цифры десятичной записи числа и сопоставил их точке отрезка с координатой
(0,x1y1x2y2x3y3x4y4…),
получившейся перемежением соответствующих цифр. Таким образом, Кантор установил биекцию между точками квадрата и отрезком. Более того, построив на таком квадрате куб, он показал равномощность куба и отрезка, затем обобщив всё на кубы высших измерений. Оказывается, какой размерности фигуру Вы бы не представили, точек в ней будет столько же, сколько в обычном отрезке!
Такому количеству точек Кантор приписал кардинальное число — Алеф-1, ставшее наименьшим несчетным бесконечным кардиналом (во всяком случае пока не опровергнута континуум-гипотеза). Про первый счетный бесконечный кардинал читайте в моём материале! Спасибо за внимание!
- TELEGRAM, VKONTAKTE и Facebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
