Почему производная экспоненты равна ей самой? Самое простое доказательство на пальцах

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я уверен, что многие из Вас из школьного курса математики прекрасно помнят чудесную функцию — экспоненту, производная которая, сколько бы её не брать, равняется исходной функции.

Число в основании функции-экспоненты — это знаменитое число Эйлера е = 2,718281828. Источник: https://3.bp.blogspot.com/-8dPv8zNH_Tc/Vyyh8LjryfI/AAAAAAAAAzg/BAIXV4QkLjMR9drgzkU9AEh4Lx2kLauFwCKgB/s1600/Leonhard_Euler2.jpg

Однако, многие ли из Вас знают, почему так происходит? Сегодня я хочу это рассказать на максимально простом языке, доступном даже 10-класснику. Поехали!

Рассмотрим две показательные функции:

Вспомним теперь классическое определение производной функции как предела отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

  • Простыми словами: мы анализируем как скорость изменения функции f(x) при бесконечно малом изменении её аргумента, которое мы будем обозначать ∆х.

В формулах для первой функции это выглядит так:

Давайте кое-что посчитаем на калькуляторе, а именно выражение под знаком предела. Например, пусть изменение функции ∆х = 0,001. Тогда:

Впрочем, это ничего нам не даст…

До того момента, как мы не посчитаем аналогичное выражение для функции, в основании которой 3:

А вот это уже интересно. Если немного вспомнить математический анализ, то в голове всплывает вторая теорема Больцано-Коши или теорема о промежуточном значении.

Применительно к нашему случаю она позволяет утверждать, что рассматриваемая функция (имеется ввиду дробь (x^∆х-1)/∆х) при каком-то x равняется единице!

Если мы найдем такое х, то по определению получим равенство функции её производной!

Начинаем! Приравниваем нашу функцию к единице:

Второй замечательный предел — это известное из школьного курса соотношение, неизменно приводящее к числу Эйлера.

Таким образом, доказательство окончено! Спасибо за внимание! Ставьте "Нравится" этому материалу и подписывайтесь на канал!

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: