Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня такой легкий материал, прошу его не воспринимать излишне серьезно. Естественно, дважды два равно четыре и "это всем известно в целом мире". С другой стороны, а что значит известно всем? Это аксиома? Догма? Оказывается, что нет: это всего лишь математическое суждение, которое требует доказательства. Оно простое, но в то же время фундаментальное. Поехали!
Джузеппе Пеано — отец аксиоматической арифметики. Источник: https://ic.pics.livejournal.com/imit_omsu/66140468/399441/399441_original.jpg
Как говорят о натуральных числах в школе? Их определяют либо словесно "Один, два, три, четыре", либо с помощью арифметической прогрессии, которая начинается с 1 и имеет разность 1, либо как множество строк цифр, которые не начинаются с нуля и т.д.
Примерно так и размышляли математики (на самом деле особо не заморачивались) до выхода на сцену Джузеппе Пеано. Он первым ввёл простую аксиоматику, позволившую формализовать арифметику:
1 .Существует 1 (единица) — единственное натуральное число, которое не следует ни за каким другим.
2. Для каждого натурального числа а существует следующее за ним (определяется т.н. "функция следования S(x)") число а' при том единственное. Это, во-первых, значит, что число натуральных чисел бесконечно, а второе — что между последовательными натуральными числами нет каких-то других.
3. Аксиома индукции: если какое-либо предположение доказано для 1, и если из допущения, что оно верно для n следует, что оно верно для n+1, то предположение верно для всех натуральных чисел.
В аксиоматике Пеано определены свойства сложения и умножения:
- (а + b)' = a + b' (например, (2 + 3)' = 2 + 3' = 2+4 = 6).
- a' = a + 1 (например, 3' = 3 + 1 = 4).
- a x b' = (a x b) + a (например, 3 х 4' = 3 х 4 + 3 = 15).
- a x 1 = a.
Вооружившись знаниями аксиом и правил умножения/сложения можно перейти к доказательству. Прежде всего надо понять, что такое 2 и что такое 4. Вспоминаем про функцию следования. Очевидно, что:
S(1) = 2, тогда S(2) = 3, S(3) = 4 или
2 = 1' и 4 = 1'''
Теперь докажем, что дважды два — это два плюс два. Итак, 2 = 1', тогда:
1' x 1' = (1' x 1) + 1' (свойство 3)
1' x 1 = 1' (свойство 4), значит 1' x 1' = 1' + 1'
Осталось теперь доказать, что 2 + 2 равняется четырем:
1' + 1' = (1' + 1 ) ' (свойство 1 в обратную сторону)
1' + 1 = (1')' = 1'' (свойство 2), значит 1' + 1' = (1'')' = 1''' = 4
Вот, собственно, и всё доказательство. Можете быть уверены, что, во всяком случае, на множестве натуральных чисел дважды два равно четырем. Спасибо за внимание!
