Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Сразу хочу отметить, что, хоть и приведенный ниже материал не требует серьезной математической подготовки, рекомендую ознакомиться с первой его частью по этой ссылке. Поехали!
Часть 2. Кольцо остатков и четыре корня
В конце прошлой статьи я сказал, что кроме кольца вещественных и целых чисел, существуют коммутативные кольца, над которыми теорема Безу всё так же работает, но с некоторыми "несуразностями". Встречайте кольцо остатков:
Это кольцо состоит из чисел, которые могут появиться при делении на 8 (например, если делить 13 на 8, в остатке получится 5, если делить 8 на 8, в остатке получится 0 и так далее). На примере посмотрим, почему это множество является коммутативным кольцом с единицей.
Каким же образом??? Ведь отрицательных чисел нет, а значит нет и обратного элемента относительно сложения…
Давайте по шагам:
1) Наличие нейтрального элемента относительно сложения: в множестве есть 0, поэтому очевидно, что требование выполняется, т .е. например, 3+0=3.
2) То же самое выполняется и для умножения: 4*1=4.
3) Коммутативность относительно умножения тоже очевидна, 2*3=3*2 и так далее.
4) А что же насчет обратного элемента относительно сложения? Всё, что удивительно, выполняется. Следите за руками:
4+4=0 (8 делится без остатка на
5+3=0 (такая же ситуация)
и так далее. Таким образом, для каждого элемента можно найти обратный по сложению. Не проверяя остальные тривиальные требования, можем смело заключить, что кольцо остатков по 8 является коммутативным кольцом с единицей и для него должна быть верна теорема Безу.
Лирическое отступление: арифметика над кольцом остатков достаточно занятна, например:
Но дважды два равно 4, хотя если взять кольцо по остатку 4, уже будет не так
А еще над кольцом остатков по 8 следующие многочлены суть одно и то же:
Ведь, 9 mod 8 =1, 27 mod 8 =3, 10 mod 8 = 2
Ну а теперь самое интересное: найдем корни следующего простого квадратного уравнения над кольцом остатков по 8 :
Видите, у обычного квадратного трехчлена есть 4 корня. А теперь у меня к Вам вопрос. Вспомните первую часть, там я писал, что квадратный трехчлен можно представить в виде (x-x1)*(x-x2), где x1, x2 — его корни.
Верно ли над кольцом остатков по 8 следующее утверждение и не противоречит ли оно теореме Безу:
Итак, вывод: у многочлена над произвольным коммутативным кольцом над единицей может быть корней больше, чем его степень.
**************************************************************************
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про самое маленькое число, которое когда-либо использовалось учеными.
Второй проект — канал "Русский язык не для всех"
Ну разве это — не озарение ?
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
**************************************************************************
