Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Тема различных математических последовательностей настолько широко представлена на моём канале, что мне кажется, что только в русскоязычной Википедии о них сказано больше. Сегодня разберем очередную замечательную последовательность с необычными свойствами и, как обычно, внутренней загадкой. Поехали!
Источник: https://psy-practice.com/upload/iblock/5e7/IMG_20200422_190917_493.jpg
Итак, последовательность жонглера определяется следующим образом:
В зависимости от значения а существует бесконечное количество (но, счетное — это реверанс моим постоянным Читателям, уж они знают почему) последовательностей жонглера. Самое интересное, что всех их объединяет одно свойство: они все стремятся к единице! Но как ! Вот пример:
В данном случае нам требуется всего два шага, чтобы достигнуть единицы.
Сколько падать ?
Вообще из самой формулировки последовательности понятно, что в среднем для четных чисел количество шагов до единицы будет значительно меньше:
Эта "гребенка" показывает количество шагов последовательности для начальных значений от 1 до 100. Действительно, жонглирование: вверх на нечетных, вниз на четных. Кстати, такое название последовательности дал её создатель Алан Клиффорд.
А что наверху?
Ну если с шагами всё видно сразу, то более интересная ситуация возникает, когда мы хотим подсчитать до какого максимального значения последовательность жонглера "выпрыгивает" прежде чем сорваться вниз. Вот эта гистограмма:
Только есть одно "но": масштаб по оси Y логарифмический! Ведь, неожиданно, но для числа 37 максимальное значение равно 24906114455136 и на линейном графике буквально "поглотит" всё, что его окружает, а, например, для числа 48443 максимальное значение содержит 972463 цифры, но достигается всего лишь на 157 шаге.
Кстати, число 37 необычное: про него даже пел Владимир Высоцкий:
Источник: https://www.culture.ru/poems/19178/o-fatalnykh-datakh-i-cifrakh
Логика и врожденное индуктивное мышление подсказывают нам, что все натуральные числа рано или поздно придут к единице, однако, это до сих пор не доказано. Проверены лишь начальные значения до одного миллиона. Скорее всего, "математика еще не готова для таких задач", как говорил знаменитый математик Пол Эрдёш.
