Последовательные подстановки. На пути к фундаментальному понятию "группа". Абстрактная алгебра-2.

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Итак, в прошлом материале мы разобрались, что такое перестановки и подстановки в абстрактной алгебре. Напомню, что подстановка — это алгоритм, переводящий одну перестановку в другую. А что если делать несколько подстановок друг за другом? Какими особенности можно будет отметить? Поехали!

Для простоты выберем область определения подстановки следующим образом: 0,1,2,3,4. Рассмотрим на этом множестве две подстановки:

Будем обозначать первую подстановку как P, а вторую как Q. Посмотрим, что получится, если выполнить их последовательно:

Полученная подстановка имеет ту же область определения!

Объясню на конкретном элементе, например, на третьей позиции находится 2 (в красном кружке), подстановкой P она переводится в 4. Теперь в подстановке Q в верхнем ряду ищем 4 и смотрим, что 4 переводится в 1. Обратите внимание, что порядок в перестановках мы сохраняем (2 в подстановке P была на третьей позиции и в перестановке PQ она осталась на второй позиции.

Определение. Если после подстановки P выполнить подстановку Q, то получится подстановка PQ, которую будем называться произведением этих подстановок.

Кстати, никто не мешает выполнить подстановку PP:

Из-за того, что мы называем последовательное применение подстановок произведением, может показаться, что оно обладает теми же свойствами, что и привычное нам умножение, например, коммутативностью, т.е. PQ=QP. Проверим, так ли это ?

Одни и те же элементы переходят в разные после подстановок

Очевидно, что нет. Разница в подстановках отмечена красными прямоугольниками. Таким образом, произведение подстановок не обладает коммутативностью.

Но не всё так плохо, ведь можно показать, что операция произведения подстановок ассоциативна, т.е. PQ(R)=P(QR).

Оставлю этот факт без доказательства, потому что необходимо рассмотреть еще два ключевых понятия.

Тождественная подстановка

Тождественной подстановкой называется такая подстановка, которая переводит элементы сами в себя. Вот пример:

Тождественную подстановку обозначают буквой I, очень похожей на единицу, аналогом которой она и является. На примере покажу основное свойство тождественной подстановки:

Т.е. в случае произведения с тождественной подстановкой, свойство коммутативности выполняется!

Обратная подстановка

У всякого рационального числа, как мы знаем, есть обратное: например, для 3 — это 1/3, для 2/7 — это 7/2. Вот и для перестановок также существует подобная операция. Рассмотрим произведения двух подстановок:

По аналогии с числами 3 * 1/3 = 1

Как видно, их произведением является тождественная подстановка, значит можем называть подстановку P обратной подстановке Q (и наоборот).

А теперь я поменял в подстановке Q столбцы местами, но произведение PQ(штрих) всё так же является тождественной подстановкой. У нового читателя может возникнуть вопрос: значит ли это, что есть несколько подстановок, обратной данной. Тот же, кто читал прошлую статью скажет, что подстановки Q и Q(штрих) не отличаются: менять столбцы местами можно и иногда даже нужно.

Подстановка, обратная данной, единственна! Оставим этот факт без доказательства. Кстати, подстановку обратную данной обозначают так:

Как в привычной математике.

Итак, мы рассмотрели ключевые вопросы последовательного проведения подстановок. Теперь мы вплотную приблизились к понятию "группа" — одному из фундаментальных понятий, на котором строится вся математика. О ней в следующем уроке! ЛЮБИТЕ АБСТРАКЦИИ!