Примеры групп в математике. Любой, кто закончил 6 классов, поймет и оценит

Приветствую Вас, продолжаем разговор о теории групп на конкретных примерах. Сначала прочитайте, пожалуйста, прошлый материал.

Сразу же хочу отметить, что немного обидно, что группы не преподают в школе хотя бы на элективных курсах. С таким подходом количество влюбленных в математику юношей и девушек возросло бы в геометрической прогрессии!

Группы по сложению

Возьмем множество, состоящее из всех натуральных чисел {1,2,3…}. Есть ли в данном множестве нейтральный элемент? Очевидно, что нет, ведь мы, следуя традиции, исключили 0 из множества натуральных чисел.

Не беда, рассмотрим множество {0,1,2,3…}. Нейтральный элемент в наличии, а что с обратным ? А его в нашем множестве нет, потому что отрицательные числа мы тоже не приняли в рассмотрение.

Только, если мы добавим отрицательные числа в наше множество {…,-3,-2,-1,0 ,1,2, 3…}, то удовлетворим всем четырем требованиям. Еще мы должны проверить, всякий ли результат сложения в нашем множестве является элементом данного множества? Очевидно, что при сложении любых двух целых чисел получается число целое, так что всё нормально.

Таким образом, мы можем утверждать, что целые числа образуют группу по сложению, а натуральные — нет.

Группы по умножению

Продолжим работать с целыми числами и постараемся ответить на вопрос: образуют ли они группу по умножению ? С нейтральным элементом просто: к счастью, в нашем множестве есть 1. А что с противоположным ?

Тут всё хуже, ведь, например, для целого числа 5 обратный элемент равен 1/5 — а это число не целое! Другими словами, не найти такого целого x, чтобы оно являлось решением уравнения 5x = 1. Таким образом, уже ясно, что целые числа не образуют группу по умножению.

Чтобы выйти из ситуации создадим детей натуральных и целых чисел. Введем такую дробь m/n, где m — целое (положительное или отрицательное), а n — натуральное число. Отпрысков назовём рациональными числами — 1/2, -2/5, 9/9 и т.д.

Вот множество рациональных чисел вроде бы уже образует группу по умножению, ведь приведенное в примере 5 и 1/5 являются взаимообратными элементами одного и того же множества, а остальные свойства также выполняются.

Однако, в семье не без урода, как говорится, ведь 0 — тоже рациональное число, а что у него с обратным элементом по умножению? Правильно, он не определен, ведь тогда происходит деление на ноль.

Поэтому говорят, что группу по умножению образуют рациональные числа без нуля.

Нильс Хенрик Абель. Группы по умножению, обладающие бинарной коммутативной операцией, называются абелевыми. Множество рациональных чисел без нуля — одно из них. Источник: https://www.irishtimes.com/polopoly_fs/1.2548036.1456402206!/image/image.jpg

Для закрепления темы поразмышляйте над свойствами таких множеств, как:

  • множество, состоящее из одного единственного 0;
  • множества четных целых чисел;
  • множество положительных рациональных чисел;
  • множество из чисел +1 и -1;

Ответы на эти вопросы смотрите в FaceBook и Телеграмм в самое ближайшее время. Подписывайтесь! Спасибо за внимание!

P.S. А как называются множества, которые образуют группу по умножению и по сложению одновременно?

Читайте также про простое математическое свойство, о котором не рассказывали в школе.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Математика не для всех
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: